Vermutung von Harant (Workshop Cycles and Colorings, Stara Lesna, 2000):

Zu jedem Paar (c,k) natürlicher Zahlen mit 1<k<c+1 gibt es eine natürliche Zahl r(c,k) derart, dass jeder c-fach knotenzusammenhängende Graph auf n Knoten durch je k seiner Knoten einen Kreis besitzt, dessen Länge kleiner als (2/c)n+r(c,k) ist.

Bisherige Ergebnisse für k=2 und k=3 (c beliebig aber mindestens k):

On short cycles through prescribed vertices of a graph (with J. Harant , E. Hexel, Zs.Tuza)

Der Faktor 2/c ist offenbar für kein k verbesserbar, wie die in dieser Veröffentlichung gezeigten Beispiele für k=2 beweisen (man wähle einfach noch zusätzliche k-2 Knoten des Beispielgraphen aus - der kürzeste Kreis wird dadurch gewiss nicht kürzer!)

Es genügt offenbar, die Vermutung für k=c zu untersuchen.

Die Milchmädchenrechnung:

Ein Milchmädchen besitzt 3 Milchkannen, von denen eine größte gefüllt und die anderen beiden leer sind. Für welche Größen der drei Milchkannen ist es möglich, durch geeignetes Umschütten (ohne zusätzliche Meßgeräte) zu erreichen, daß eine größte Kanne genau halbvoll ist?

Zahlentheorie:

Für welche ganze Zahlen k gibt es nur endlich viele natürliche Zahlen n derart, daß n!+k eine Quadratzahl ist? Gehört insbesondere k=1 zu dieser Menge?

Loesungen bitte an:

frank.goering@mathematik.tu-chemnitz.de

Letzte Änderung: 07.01.04, 17:14:19