Vorlesung Harmonische Bündel (Sommersemester 2017)
Inhalt
Harmonische Bündel sind eine subtile Mischung aus Daten der algebraischen Geometrie (Higgs-Bündel mit gewissen Stabilitätsbedingungen) und der komplexen Differentialgeometrie (halbeinfache flache Bündel). Sie dienen insbesondere dazu, Aussagen über Fundamentalgruppen projektiver Mannigfaltigkeiten zu gewinnen. In der Vorlesung soll ein Überblick über die Korrespondenz zwischen halbeinfachen lokalen Systemen und polystabilen Higgs-Bündel auf kompakten Kählermannigfaktigkeiten gegeben werden, und, je nach vorhandener Zeit, der Fall von quasi-projektiven Mannigfaltigkeiten, bei dem man die Stabilitätsbedingungen auf beiden Seiten der Korrespondenz in komplizierter Weise an den Randdivisor anpassen muss (dies funktioniert mit parabolischen Filtrierungen der auftretenden Garben), behandelt werden.Die benötigten Vorkenntnisse sind die Grundlagen der komplexen Analysis und der algebraischen Geometrie, der algebraischen Topologie und der Theorie der komplexen und holomorphen Zusammenhänge auf komplexen Mannigfaltigkeiten. Darüber hinaus sind ein Grundverständnis für Modulprobleme, Deformationstheorie sowie Grundlagen der Theorie der algebraischen D-Moduln sinnvoll.
Literatur
Die wichtigsten Referenzen sind die folgenden fundamentalen Arbeiten von Carlos Simpson.
- Constructing variations of Hodge structure using Yang-Mills theory and applications to uniformization. J. Amer. Math. Soc. 1 (1988), no. 4, 867–918.
- Harmonic bundles on noncompact curves. J. Amer. Math. Soc. 3 (1990), no. 3, 713–770.
- Higgs bundles and local systems. Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. No. 75 (1992), 5–95.
- Moduli of representations of the fundamental group of a smooth projective variety. I. Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. No. 79 (1994), 47–129.
- Moduli of representations of the fundamental group of a smooth projective variety. II. Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. No. 80 (1994), 5–79 (1995).
Darüber hinaus sind die folgenden Arbeiten von Takuro Mochizuki relevant.
- Asymptotic behaviour of tame harmonic bundles and an application to pure twistor D-modules. I., Mem. Amer. Math. Soc. 185 (2007), no. 869, xii+324 pp.
- Asymptotic behaviour of tame harmonic bundles and an application to pure twistor D-modules. II., Mem. Amer. Math. Soc. 185 (2007), no. 870, xii+565 pp.
- Kobayashi-Hitchin correspondence for tame harmonic bundles and an application. (English, French summary) Astérisque No. 309 (2006), viii+117 pp. ISBN: 978-2-85629-226-6
- Kobayashi-Hitchin correspondence for tame harmonic bundles. II., Geom. Topol. 13 (2009), no. 1, 359–455. .
Termine
- Montag, 4. LE, 13:45 - 15:15, Raum: 2/B202