Analysis II für Physiker

Vorlesung: Mi, 3., N 102, Do, 4., N 002

Übung ( Daniel Lenz): Di 3., N 105

Übung (Gunter Winkler): Di 3., 41/238

Übungsblätter als ps-files:

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Übungsklausur als ps-file:

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Allgemeines:

Inhalt:

1. Crash-Kurs Differential- und Integralrechnung

0. Einleitung: Anhand wichtiger Gleichungen der Physik werden die Begriffe und Bezeichnungen motiviert, die in diesem Crash-Kurs angesprochen werden sollen. Dabei ist zunächst der Schwerpunkt auf ein intuitives Verständnis gelegt. Die strenge mathematische Einführung der Begriffe und der Aufbau der Theorie kommen später.

1. Differenzieren: Hier wird die erste Ableitung reellwertiger Funktionen eingeführt. Die geometrische Bedeutung mit Hilfe der Steigung der Tangenten an den Graphen der Funktion wird erwähnt. Auch die partiellen Ableitungen von reellwertigen Funktionen in mehreren Variablen werden definiert. Beispiele aus der Mechanik und eine Diskussion der geometrischen Bedeutung der zweiten Ableitung werden gegeben.

2. Vektorrechnung: Das Ziel hier ist die erste Begegnung mit der Differentiation vektorwertiger Funktionen. Motiviert durch das Beispiel der Geschwindigkeit wird die Ableitung einer Funktion einer reellen Variablen mit Werten im n-dimensionalen euklidischen Raum definiert. Als Grundlage wird die vektorielle Struktur und die Metrik dieses Raums oberflächlich eingeführt. Das euklidische Skalarprodukt und der Zusammenhang mit Winkeln wird erwähnt.

3. Wichtige Funktionen: Hier lernen wir unter anderem die Exponentialfunktion und den Logarithmus kennen und erfahren etwas allgemeiner den Zusammenhang zwischen der Ableitung einer Funktion und ihrer Umkehrung.

4. Integralrechnung: Nach einer kurzen Einführung des Riemann -Integrals wird der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung begründet. Die Methoden der Partiellen Integration und der Substitution werden erklärt und an Beispielen erläutert.

5. Kurven und Linienintegrale: Hier werden Arbeitsintegrale definiert und Begriffe wie die Bogenlänge erläutert.

2. Die reellen Zahlen

0. Motivation und Geschichtliches: Warum reicht der Körper Q der rationalen Zahlen nicht aus? Der goldene Schnitt, die Pythagoräer und die Quadratwurzel aus 5.

1. Arithmetik: Zahlen sind zum Rechnen da. Die Körperaxiome liefern eine solide Basis für das Rechnen wie üblich.

2. Anordnung von R: Die reellen Zahlen werden als ordnungsvollständiger angeordneter Körper definiert. Als ersten Satz erhalten wir das Archimedische Prinzip, das bei anderen Zugängen als Axiom der reellen Zahlen gefordert wird.

3. Intervallschachtelungsprinzip, Folgen und Vollständigkeit: Hier lernen wir wichtige Konsequenzen aus der Ordnungsvollständigkeit kennen: das Intervallschachtelungsprinzip besagt, dass jede Intervallschachtelung genau eine reelle Zahl definiert, die Vollständigkeit der reellen Zahlen ist definitionsgemäss die Aussage, dass jede Cauchy-Folge reeller Zahlen konvergiert und der Satz von Bolzano- Weierstrass gibt einen Vorgeschmack auf Kompaktheit.

4. Rechnen mit Folgen: ... beleuchtet den Zusammenhang zwischen Konvergenz und Arithmetik im Körper der reellen Zahlen.

3. Metrische Räume

0. Definition und Beispiele: Hier wird der Begriff des metrischen Raumes eingeführt. Dieser erlaubt es, Konvergenz zu definieren. Wichtige Beispiele sind die Räume der reellen und komplexen Zahlen mit der euklidischen Metrik.

1. Offene Mengen, Umgebungen und Stetigkeit: Letzterer Begriff steht im Mittelpunkt dieses Abschnitts. Neben ersten Beispielen wird auch die Charakterisierung der Stetigkeit mit Hilfe von Folgen bewiesen.

4. Reihen ... sind wenn man unendlich oft addiert. Das will natürlich gekonnt sein.

0. Definition und erste Eigenschaften

1. Konvergenzkiterien

2. Die realen Zahlen: Dezimalbruchentwicklung

3. Manipulation von Reihen

4. Die Exponentialfunktion: ist die Königin unter den Funktionen. Wir lernen sie kennen und definieren trigonometrische Funktionen und zeigen deren geometrische Bedeutung.

5. Stetige reelle Funktionen Nachdem wir Definition und erste lokale Eigenschaften stetiger Funktionen bereits im abstrakten Rahmen der metrischen Räume kennengelernt haben, beschäftigen wir uns mit globalen Eigenschaften stetiger Funktionen. Diese besitzen im Spezialfall der reellen Zahlen besonders griffige Formulierungen.

0. Grenzwerte von Funktionen:Hier wird noch ein wenig Notation eingeführt.

1. Der Zwischenwertsatz: ist eines der fundamentalen Hilfsmittel der Analysis. In seiner absrakten Fassung besagt er, dass stetige Funktionen zusammenhängende Mengen wieder auf zusammenhängende Mengen abbilden. Konkret heisst das, dass eine stetige Funktion auf einem Intervall mit zwei Funktionswerten auch alle Werte dazwischen annimmt.

2. Kompaktheit:Noch ein Konzept von herausragender Bedeutung. Wir lernen hier zunächst, wie sich Kompaktheit im Raum der reellen Zahlen manifestiert. Als Konsequenz erhalten wir den Satz vom Maximum, dass nämlich stetige reellwertige Funktionen auf kompakten Mengen Maximum und Minimum annehmen.

3. Umkehrfunktion, Logarithmus und allgemeine Potenzen

Wer noch Fragen hat findet die Antwort ... hier

Literatur zur Analysis I:

Die folgende Literatur bezieht sich vor allem auf den systematischen Aufbau der Theorie, nicht auf den Crash-Kurs: