Distributionen und lineare Differentialoperatoren
- Veranstaltungstermine im Wintersemester 15/16:
Vorlesung: Dienstag, 11:30-13:00 in 2/N006 und Mittwoch, 13:45-15:15 in 2/W015 im Wechsel mit der Übung
Übung: Mittwoch, 13:45-15:15 in 2/W015 im Wechsel mit der Vorlesung
Ein nicht zu unterschätzendes Problem, das z.B. oft bei der Behandlung partieller Differentialgleichungen, bei Problemen der Physik oder auch bei der Signalanalyse auftritt, ist die Existenz von Funktionen, die im klassischen Sinne nicht differenzierbar sind, deren "Ableitung" aber dennoch zu berechnen ist. Um dieses Problem zu lösen, betrachtet man verallgemeinerte Funktionen, sog. Distributionen, deren mathematisch rigorose Theorie von Schwartz, Gelfand und Shilov begründet wurde: Jede Distribution besitzt Ableitungen beliebiger Ordnung, die selbst wieder Distributionen sind, und Distributionen sind die kleinste Klasse von Objekten mit dieser Eigenschaft, die die stetigen Funktionen enthalten. Somit verhalten sich Distributionen zu stetigen Funktionen in gewissem Sinne wie die reellen Zahlen zu den rationalen Zahlen.
Neben dem oben kurz angerissenen Problem lassen sich mit Hilfe von Distributionentheorie viele Probleme der Analysis auf sehr elegante Art behandeln. In der Vorlesung liegt der Schwerpunkt hierbei auf Anwendungen bei der Lösung partieller Differentialgleichungen. Behandelt werden neben den grundlegenden Eigenschaften von Distributionen die Faltung von Distributionen, Regularisierungen, Fouriertransformation temperierter Distributionen sowie der Satz von Malgrange-Ehrenpreis.
An Vorkenntnissen werden lediglich Kenntnisse in Analysis und linearer Algebra vorausgesetzt.
- Literatur zur Veranstaltung:
Duistermaat, Kolk: Distributions. Theory and applications. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 2010.
Grubb: Distributions and Operators. Graduate Texts in Mathematics, 252. Springer, New York, 2009.
Hörmander: The Analysis of Linear Partial Differential Operators I. Distribution theory and Fourier analysis. Reprint of the second (1990) edition. Classics in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 2003.
Kaballo: Aufbaukurs Funktionalanalysis und Operatortheorie. Springer Spektrum Verlag, Heidelberg, 2013.