Getriebefreiheitsgrad und Zwanglauf

In einem Getriebe herrscht Zwanglauf, wenn jeder Stellung eines beliebigen Getriebegliedes die Stellungen der anderen Getriebeglieder eindeutig zugeordnet sind.

Der Getriebefreiheitsgrad $F$ ist gleich der Anzahl der verbleibenden, also nicht eingeschränkten Freiheiten und entspricht der Anzahl der notwendigen Antriebe, um Zwanglauf zu sichern.

Zwanglaufgleichung

$F = b (n - 1) - \sum_{i = 1}^{g} (b - f_{i}) - \sum_{j}^{} (f_{i d})_{j} + \sum_{k}^{} (s_{p})_{k}$

für räumliche Getriebe gilt: $F = 6 (n - 1) - 6 g + \sum_{i = 1}^{g} f_{i}$

für ebene und sphärische Getriebe gilt: $F = 3 (n - 1) - 2 g_{1} - g_{2}$

verwendete Formelzeichen

$b$ - Bewegungsgrad

$n$ - Anzahl der Glieder

$g$ - Anzahl der Gelenke

$g_{1}$ - Anzahl der Gelenke mit $f = 1$

$g_{2}$ - Anzahl der Gelenke mit $f = 2$

$f$ - Gelenkfreiheitsgrad

$f_{i}$ - Teilgelenkfreiheitsgrad an der freigeschnittenen Kontaktstelle

$f_{i d}$ - identische Gelenkfreiheiten

$s_{p}$ - passive Bindungen

Passive Bindungen und identische Freiheiten

Da die Zwanglaufgleichung eine reine Abzählformel bezüglich $n$ , $g$ und $f_{i}$ ist, bleiben oftmals strukturelle Besonderheiten des realen Aufbaus eines Getriebes unberücksichtigt. Das führt dazu das Getriebe einen höheren Freiheitsgrad aufweisen als er sich rechnerisch ergibt. Verantwortlich hierfür sind sogenannte passive Bindungen $s_{P}$ sowie identische Freiheiten $f_{i d}$ . Passive Bindungen führen zu einer Erhöhung des Freitsgrades, während identische Freiheiten den Freiheitsgrad senken.

Die Identifizierung passiver Bindungen erfolgt über die Suche nach identischen Übertragungsfunktionen. Beispielsweise:

besondere Lagen von Drehachsen
überflüssige Starrheitsbedingungen
besondere Gliedabmessungen

Die Identifizierung identischer Freiheiten erfolgt über die Suche nach Bewegungsmöglichkeiten von Gliedern oder Gliedgruppen, welche die Hauptbewegung des Getriebes nicht beeinflussen. Beispielsweise:

Gelenkbolzen durch 2 Bohrungen, welcher sich drehen kann
Koppelglied mit Kugelgelenken, welches sich um die eigene Achse drehen kann
Abtastrolle an Kurvengetrieben, welche lediglich auf der Kurvenscheibe abrollt

Beispiel: übergeschlossene Parallelkurbel

Getriebefreiheitsgrad: $F = 6 (5 - 1) - (6 \cdot 5) = - 6$

Das Getriebe ist ein überbestimmtes Tragwerk.
Es ist umlauffähig, wenn die Achsen 15, 35, 14, 34 und 23 parallel zu Achse 12 liegen und die Abstände 12-23, 15-35 sowie 14-34 exakt übereinstimmen. Dadurch ergeben sich 7 passive Bindungen: $s_{P} = 7$ . Nach Berücksichtigung der passiven Bindungen ergibt sich ein Getriebefreiheitsgrad von : $F = 6 (5 - 1) - (6 \cdot 5) + 7 = 1$

Beispiel: Ebene Kurbelschwinge mit Kugelgelenken

Getriebefreiheitsgrad: $F = 6 (4 - 1) - (2 \cdot 5 + 2 \cdot 3) = 2$

Das Getriebe benötigt somit 2 Antriebe, da die Kugelgelenke in der Koppel eine unnötige Freiheit schaffen. Durch Wegnahme der Freiheit, kann die Antriebsfunktion realisiert werden $f_{i d} = 1$ .
Alternativ kann das Kugelgelenk durch ein weiteres Zylindergelenk ausgetauscht werden.
Nach Berücksichtigung der identischen Freiheit $f_{i d} = 1$ ergibt sich ein Getriebefreiheitsgrad von: $F = 6 (4 - 1) - (2 \cdot 5 + 2 \cdot 3) - 1 = 1$