3 Lagen einer Ebene E in einer Bezugebene $E_0$

Ebenso gehört zu einem Mittelpunkt $Y_0$ in $E_0$ ein einziger Kreispunkt Y in E. Er wird in E als Schnittpunkt der Mittelsenkrechten $y_{0.12},y_{0.23}$ und $y_{0.13}$ der relativen Lagen $Y_{0.1}$, $Y_{0.2}$ und $Y_{0.3}$ von $Y_0$ bezüglich E ermittelt (TP).

Wenn E in $E_0$ in 3 Lagen gegeben ist, so nimmt auch die Bezugsebene $E_0$ – gekennzeichnet z. B. durch eine Strecke $\overline{X_0{Y}_0}$ – gegenüber der Ebene E 3 Lagen $E_{0.1}$, $E_{0.2}$ und $E_{0.3}$ ein. Die Lagen lassen sich auf ein die Ebene E darstellendes TP übertragen und bestimmen analog zum Poldreieck in $E_0$ ein durch 3 Pole bestimmtes Poldreieck in der Ebene E.

Wird Ebene E in die Lage $E_1$ gebracht, so stimmen die Pole mit der gemeinsamen Indexziffer 1 $P_{12}$ und $P_{13}$ überein. Überträgt man nun den Pol $P_{23}$ von E in $E_0$ – $P_{23}^1$ – so ist zu erkennen, dass dieser symmetrisch bezüglich der Poldreieckseite $P_{12}{P}_{13}$ liegt – Spiegelpol.

Jeder Poldreieckswinkel ist halb so groß wie der entsprechende Drehwinkel der Ebene.

Wählt man einen Kreispunkt $Z_2$ auf der durch die Punkte X und Y gekennzeichneten Ebene E so, dass dieser in der Lage 2 gerade mit dem Pol $P_{23}$ in $E_0$ übereinstimmt, so liegt gleichzeitig $Z_3$ der Lage 3 im Pol $P_{23}$.

Das führt dazu, dass beim Kreispunkt Z eine Punktlagenreduktion auftritt. Die im allgemeinen getrennt liegenden homologen Punkte – z. B. $X_1$, $X_2$ und $X_3$ – reduzieren sich auf die Punkte $Z_1$ und $Z_2\equiv Z_3$.

Dadurch sind dem Kreispunkt Z nicht nur ein Mittelpunkt Z0, sondern ${\mathrm{\infty }}^1$ Mittelpunkte auf der mit der Poldreieckseite $P_{12}{P}_{13}$ identischen Mittelsenkrechten $z_{12}=z_{13}$ zugeordnet.

Satz:
Wird ein Kreispunkt (Mittelpunkt) in einem Pol von E ($E_0$) gewählt, so sind ihm ${\mathrm{\infty }}^1$ Mittelpunkte (Kreispunkte) zugeordnet, die auf der gegenüberliegenden Poldreieckseite liegen.