Forschungsthemen: "Ungeordnete Quantensysteme"

Der Übergang eines Materials vom metallischen in den isolierenden Zustand ist ein bis heute nur unvollständig verstandenes Phänomen. In den letzten Jahrzehnten sind im wesentlichen zwei verschiedene Mechanismen untersucht worden: Zum einen kann ein solcher Metall-Isolator Übergang (engl: Metal-Insulator-Transition MIT) durch eine Vielteilchwechselwirkung (Mott-Übergang), zum anderen durch Unordnung (Anderson-Übergang) induziert werden.

Im Anderson Modell bewegen sich unkorrelierte Elektronen auf einem regelmäßigen Gitter, wobei aber die potentiellen Energien an den Gitterplätzen zufällig gewählt werden. Dies führt zu einer Lokalisierung der Einteichenwellenfunktionen für genügend starke Unordnung und damit zu einem Isolator. Bei schwacher Unordnung sind die Eigenfunktionen räumlich ausgedehnt ähnlich den Blochwellen in einem idealen Kristall. Zur Bestimmung der Phasengrenze zwischen Metall und Isolator im Energie-Unordnungsdiagramm und zur Berechnung der den Übergang charakterisierenden kritischen Exponenten hat sich der Transfermatrix-Algorithmus zusammen mit der Technik des Finite-Size Scaling als nützlich erwiesen.

Mit diesen Methoden betrachten wir auch dreidimensionale Systeme mit anisotroper Nächste-Nachbar Wechselwirkung. Insbesondere wird die Leitfahigkeit einer solchen anisotropen Probe im Rahmen des Kubo Formalismus berechnet und als Funktion von Unordnung und Anisotropie untersucht.

Eine weitere Möglichkeit zur Charakterisierung des Anderson-Übergangs besteht in der direkten Untersuchung der Wellenfunktionen. Aufgrund der Unordnung sind diese Eigenfunktionen allerdings nicht analytisch berechenbar. Sie werden deshalb numerisch durch Diagonalisierung des Hamiltonoperators des Modells mit dem Lanczos-Verfahren bestimmt. Die bei der Annäherung an den Phasenübergang divergierende Korrelationslänge legt die Vermutung nahe, dass die Wellenfunktionen bei der kritischen Unordnung fraktales Verhalten zeigen, da dort keine charakteristischen Längenskalen existieren. Eine detailliertere Analyse 3 dimensionaler Systeme ergibt, dass die Wellenfunktionen dort als Multifraktale beschrieben werden können. Das anfänglichgezeigte Bild stellt einen solchen multifraktalen Eigenzustand in einem Kasten der Größe N3=100x100x100= 1367631 dar.

Anstatt der Eigenfunktionen können auch die Energieeigenwerte bzw. deren statistischen Eigenschaften genutzt werden um den Anderson-Übergang zu charakterisieren. Speziell untersuchen wir Abstandsverteilungen der Eigenwerte und die Dyson-Mehta-Statistik und nutzen Finite-Size-Scaling um den kritischen Exponenten zu bestimmen.

Wir untersuchen zur Zeit die thermoelektrischen Transporteigenschaften in ungeordneten Systemen in der Nähe des Metall-Isolator-Überganges. Eine kurze Einführung zu den Thermokräften gibt es im Kapitel "Was ist die Thermokraft und warum betrachtet man sie?". Experten können aber auch direkt ins Kapitel "Wenn es heiß wird" springen, wo wir eine Zusammenfassung der laufenden Arbeiten geben.

Was ist die Thermokraft und warum betrachtet man sie ?

"Jeder will zurück zur Natur - aber bitte nicht zu Fuß" Wer will einen weiten Weg zu Fuß laufen, wo es doch Autos gibt? Man kann mit dem Auto oder mit der Bahn fahren, aber die Wärme in den Abgasen dieser Beförderungsmittel sind ein großer Beitrag zum Treibhauseffekt. Könnte man diese Wärme nicht wieder in eine nutzbare elektrische Leistung umwandeln?

Die Antwort ist: im Prinzip ja. Wenn wir den Seebeck-Effekt verwendeten, erhielten wir eine alternative Möglichkeit der Energieerzeugung, eine umweltfreundliche Technologie zur Stromversorgung.

Was ist der Seebeck-Effekt? Kurz: Ein Temperaturunterschied produziert in einem langen elektrisch leitenden Stab ein elektrisches Feld. Dieses Phänomen entdeckte als Erster Thomas Seebeck schon 1823.

Wenn es heiß wird

Was ist der Wert der Thermokraft S in einen ungeordneten System? Wie beeinflußt ein Temperaturgradient dT die thermoelektrischen Eigenschaften in der Region nahe dem Metall-Isolator-Übergang? Salopp gesprochen, konzentrieren wir unsere Aufmerksamkeit auf die Frage: "Was geschieht in einem ungeordneten System, wenn es heiß wird?"

Die Temperaturabhängigkeit (T) der Thermokraft im dreidimensionalen Anderson-Modell der Lokalisierung wird von uns zur Zeit erforscht. Unser 1. Ergebnis zeigt, dass S eine Konstante am Übergang ist. Dies wird in der nächsten Abbildung gezeigt.

Zur Zeit arbeiten wir an Berechnungen von S für dotierte Halbleiter (Si:P). Unsere Arbeiten ermöglichen uns auch die Berechung der Temperaturabhängigkeit des thermischen Leitfähigkeit und der Lorenz-Zahl.

Für Modelle wechselwirkender Fermionen in einer Raumdimension wurde mit Hilfe der Bosonisierung gezeigt, daß energetische Unordnung zu Grundzuständen mit starken Lokalisierungseigenschaften führt. Kürzlich hat jedoch Shepelyansky argumentiert, daß eine Hubbard-Wechselwirkung zwischen zwei Teilchen zu einem starken Anwachsen der Zwei-Teilchen-Lokalisierungslänge L2 im Vergleich zur Ein-Teilchen-Lokalisierungslänge L1 führt. Wir haben daraufhin Transfer-Matrix-Rechnungen zur Bestimmung von L2 in Abhängigkeit von Unordnung W, Wechselwirkungsstärke U and Systemgröße M durchgeführt. Mit einem verbesserten Transfer-Matrix-Algorithmus, welcher auf den Selbstmittelungseigenschaften der inversen Zerfallslängen basiert, können wir die Ergebnisse von Frahm et al. für U=1, M=100 als Funktion von W reproduzieren. Jedoch zeigen unsere Resultate weiterhin, daß (a) das relative Verhältnis L2(U)/L1 für große M abfällt, (b) L2(U)/L2(0) konstant ist für W<3 bei festem M, (c) L2(0)=L1 nur für M -> Unendlich erfüllt ist, und (d) L2=L1 im selben Limes gilt. Die Hubbard-Wechselwirkung führt also nicht zu einem Anwachsen der Lokalisierungslängen wenn man die TM Methode benutzt. Desweiteren haben wir für den ursprünglichen Ansatz von Shepelyansky und für das Imry'sche Block-Skalierungs-Bild in zwei Gegenbeispielen gezeigt, daß diese Methoden dort zu falschen Resultaten führen.

Vom besonderem Interesse ist für uns auch der Einfluß von Mehrteilchenwechselwirkung auf den Anderson-Übergang. Arbeiten über exaktlösbare eindimensionale Quantenvielteilchensysteme mit schwacher Unordnung zeigen, wie auch der obige Zwei-Teilchenfall, eine Tendenz zur Delokalisierung durch Wechselwirkung. Startend vom Anderson Modell untersuchen wir deshalb zur Zeit die Physik von wenigen wechselwirkenden (Hubbard, nächste-Nachbarn, Coulomb) Teilchen bei endlicher Unordnung. Desweiteren benutzen wir die Methode der Dichte-Matrix-Renormierung und betrachten in Zusammenarbeit mit Wisssenschaftlern am Indian Institute of Science in Bangalore eine eindimensionale ungeordnete Hubbard-Kette. Dies sollte uns dann dem Verständnis des Zusammenspiels von Unordnung und Wechselwirkung, bzw. Anderson- und Mott-Übergang näher bringen.

Eine Möglichkeit zur Charakterisierung des Anderson-Übergangs besteht in der direkten Untersuchung der Wellenfunktionen. Aufgrund der Unordnung sind diese Eigenfunktionen allerdings nicht analytisch berechenbar. Sie werden deshalb numerisch durch Diagonalisierung des Hamiltonoperators bestimmt. Mit Hilfe von Algorithmen, welche auf dünn besetzten Matrizen aufbauen, können Systeme in der Größenordnung von Millionen Gitterplätzen betrachtet werden. Die bei der Annäherung an den Phasenübergang divergierende Korrelationslänge legt die Vermutung nahe, dass die Wellenfunktionen bei der kritischen Unordnung fraktales Verhalten zeigen, da dort keine charakteristischen Längenskalen existieren. Eine detailliertere Analyse dreidimensionaler Systeme ergibt, dass die Wellenfunktionen dort als Multifraktale beschrieben werden können.

Anstatt der Eigenfunktionen können auch die Energieeigenwerte bzw. deren statistischen Eigenschaften genutzt werden, um den Anderson-Übergang zu charakterisieren. Speziell untersuchen wir Abstandsverteilungen der Eigenwerte und nutzen Finite-Size-Scaling um den kritischen Exponenten zu bestimmen.

Beide Charakterisierungsmethoden werden auf Hamiltonmatrizen angewendet, welche die Verknüpfung des eckenteilenden tetragonalen Gitters beschreiben. Dieses spezielle Gitter tritt in der Natur als Untergitter, z.B. in der Spinell-Struktur, auf. Die Struktur lässt sich mit dem fcc-Bravais-Gitter und einer 4-atomigen Basis beschreiben. Die Verknüpfungen zwischen den Basisatomen bilden einen Tetraeder. Die Verknüpfungen von Basisatomen zwischen benachbarten Einheitszellen kann ebenfalls durch Tetraeder beschrieben werden. Beide Tetraeder teilen sich die Eckpunkte und sind inversionssymmetrisch zueinander. Diese Konstruktion hat an jedem Gitterplatz 6 nächste Nachbarn.

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Eine weitere Möglichkeit der Charakterisierung führt über die Berechnung der Lokaliserungslänge. Hierfür wird die exponentiell abklingende Transmission durch einen quasi eindimensionalen Balkens unter Verwendung eines iterativen Green-Funktions-Formalismus berechnet. Diese Methode hat gegenüber dem Transfermatrix-Algorithmus den Vorteile, dass nicht jeder Gitterplatz einer Schicht mit dem einer benachbarten verknüpft sein muss. Unter Verwendung von verschiedenen Balkenquerschnitten (Finite-Size-Scaling) ist es möglich den Phasenübergang und kritischen Exponenten zu bestimmen, welche mit denen aus der Multifraktalanalyse und der Energieniveaustatistik übereinstimmen sollten.

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Das zufällige Voronoi-Delaunay Gitter ist ein topologisch ungeordnetes Gitter. Es beschreibt u.a. amorphe Materialien, Schwämme und Gewebe. Dies wird aus zufällig gewählten Atompositionen mit Hilfe der Delaunay-Dreieckszerlegung eindeutig gebildet. Die Kanten der Dreiecke spiegeln die Verknüpfungen wider. Die Anzahl der Verknüpfungen hängt so von der Position ab. Das Voronoi-Diagramm ist eine zur Delaunay-Dreieckszerlegung duale Darstellung . Aufgrund des restriktiven Aufbaus kommt es zu räumlichen Korrelationen zwischen verschiedenen charakteristischen Merkmalen des Gitters. Dieses topologisch ungeordnete Gitter kann in beliebigen Dimensionen gebildet werden, wobei der zwei- und dreidimensionale Fall von besonderer Bedeutung sind.

In diesem topologisch ungeordnetem System wird das Verhalten von Elektronen mit und ohne Einfluss eines äußeren magnetischen Feldes untersucht und charakterisiert. Dafür wird die Multifraktalanalyse in Kombination mit dem Finite-Size-Scaling verwendet. Von besonderem Interesse ist es, inwieweit Phasenübergänge auftreten und die Frage, welche Auswirkungen die topologische Unordnung auf das qualitative Verhalten der Elektronen hat.

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