Chemnitzer FEM-Symposium 1999

Vortragszusammenfassungen

Die Lösung ellptischer Randwertprobleme hat in der Umgebung von Kanten im allgemeinen anisotropes Lösungsverhalten. Die Ableitungen in den Richtungen senkrecht zur Kante sind viel größer als entlang der Kante, ja sogar unbeschränkt. Die Idee bei anisotropen Diskretisierungen ist nun, senkrecht zur Kante eine kleinere Schrittweite zu wählen, um damit die großen Ableitungen zu kompensieren.

In diesem Vortrag soll die Lösung des Stokes-Problems mit Crouzeix-Raviart-Elementen für die Geschwindigkeit diskutiert werden. Lokale Interpolationsfehlerabschätzungen können leicht hergeleitet werden, womit auch der globale Interpolationsfehler abschätzbar ist. Der aufwendige Schritt ist die Abschätzung des Konsistenzfehlers. Schließlich erhält man die Konvergenz der Finite-Elemente-Methode mit erster Ordnung, wenn das Netz anisotrop an die Lösung angepaßt ist.

Crouzeix-Raviart-Elemente können natürlich auch zur Lösung des Poisson-Problems verwendet werden. Die Methode konvergiert, wie auch diejenige mit konformen P1-Elementen, mit erster Ordnung über der angegebenen Familie anisotroper Netze [ANS99]. Eine Vergleichsrechnung wird ausgewertet.

Referenz

[ANS99]

Th. Apel, S. Nicaise, J. Schöberl: Crouzeix-Raviart type finite elements on anisotropic meshes. Preprint SFB393/99-10, TU Chemnitz, 1999

Vorkonditionierer für die p-Version der FEM sind bisher wenig bekannt. Korneev [1] gab basierend auf DD-Methoden Vorkonditionierer für das innere Problem und das Schur-Komplement an.

Der Vortrag behandelt den inneren Vorkonditionierer und sucht nach Lösungsmöglichkeiten für das entstehende Gleichungssystem. Eine Veränderung des von [1] angegebenen Vorkonditionierers führt zu einer Systemmatrix, welche man bei Diskretisierungen von elliptischen partiellen Differentialgleichungen 2.Ordnung mit variablen Koeffizienten mittels h-Version der FEM bzw. finiter Differenzen erhalten würde.

Referenz

[1]	V.G. Korneev und S. Jensen. Preconditioning of the p-Version of the finite element method. Comput. Methods Appl. Mech. Engineneering, 150 (1997), pages 215-238.

We consider the heat equation in a smooth domain of R² with Dirichlet and Neumann boundary conditions. It is solved by using its integral formulation with double-layer potentials, where the unknown $\mu=[\Phi]$, the jump of the solution through the boundary, belongs to an anisotropic Sobolev space. We approximate $\mu$ by the Galerkin method and use a prewavelet basis on $\Sigma_T=\Gamma \times (0,T)$, which characterizes the anisotropic space. The use of prewavelets allows to compress the stiffness matrix from O(N²) to O(N log N) when N is the size of the matrix, and the condition number of the compressed matrix is uniformly bounded as the initial one in the prewavelet basis. Finally we show that the compressed scheme converges as fast as the Galerkin one, even for the Dirichlet problem which does not admit a coercive variational formulation.

Neben der Möglichkeit, durch Netzverfeinerung Konvergenz bei FE-Berechnungen zu erhalten (h-Version), hat in den letzten Jahren die p-Version als sukzessive Erhöhung des Polynomgrades der Ansatzfunktionen und die hp-Version als Kombination von Netzverfeinerung und Ansatzgraderhöhung großes Interesse gefunden. Es konnte vielfach gezeigt werden, daß die p-Version insbesondere für lineare Problemstellungen der Strukturmechanik eine sehr effiziente Diskretisierungsstrategie darstellt. Erste numerische Untersuchungen [1] zeigen weiterhin, daß sich diese hohe Effizienz der p-Version auch für nichtlineare Problemstellungen beobachten läßt. Dies verdeutlicht ein Benchmark Problem, welches dem DFG-Projekt 'Adaptive Finite-Elemente-Verfahren in der Angewandten Mechanik' entstammt. Ein Vergleich der uniformen p-Version mit der adaptiven h-Version zeigt für die Deformationstheorie von Hencky die deutliche Überlegenheit von FE-Ansätzen hoher Ordnung. Als weiteres Materialmodell wird ferner die assoziierte Elastoplastizität kleiner Verzerrungen betrachtet.

Referenz

[1]	E. Rank, M. Rücker, A. Düster, H. Bröker. The efficiency of the p-version finite element method. In: Proceedings of the European Conference on Computational Mechanics, Munich, 1999.

On anisotropic finite element meshes the standard residual based error indicator is derived and it is proved that is not efficient if the aspect ratio deteriorates. For a nonlocal error indicator it is proved that it is reliable and efficient independent of the aspect ratio. This is also confirmed by some numerical calulations.

Referenz

Dobrowolski, Gräf, Pflaum: On a posteriori error estimators in the finite element method on anisotropic meshes. Electronic Transactions on Numerical Analysis, Volume 8, 1999, pp.36-45. http://www.emis.de/journals/ETNA/index.html

Modelling of Body-Body Contact Problems result into ``non'' linear unilateral variational inequalities. Standard discretization of the ``linearized'' problem leads to a restricted minimization problem with a large number of inequalities in the whole domain. To reduce the problem size one can use dualization techniques, which results into a much smaller number of inequalities, occurring only at the boundary. The disadvantage of this Schur complement approach is the full matrix of the dual problem.

Domain decomposition techniques meet similar requirements. A global boundary value problem is decoupled into local subproblems, and one interface problem at the (coupling) boundary.

To achieve this we use an Augmented Lagrangian technique to the dual problem. The advantage is that we get a fast computable system matrix and right hand side. Further more this system matrix is spectrally equivalent to a block diagonal matrix. Now we can solve our two-body contact problem by using a Projection Algorithm. The advantage of this algorithm is that the ``linearized'' problem can be solved by using ``cheap'' and ``good'' preconditioners (Multi-level, Multi-grid).

Finally we'll present numerical results, especially the simulation of the sag of a roll stack in a rolling mill (VAI).

Der Vortrag stellt den derzeitigen Entwicklungsstand eines Programmpaketes dar, das durchgängig - vom Timoshenko-Balken über die Scheibe bis zur Platten- und Schalentheorie - auf die Idee einer p-FEM auf problemangepaßten (d.h. lokal und ggf. anisotrop verfeinerten) Gittern aufbaut. Dabei wird die Anwendung auf diverse lineare und nichtlineare Probleme gezeigt (einschließlich Elastoplastizität, ``Kontakt'', ...). Derzeit ist ein Modul zur p-adaptiven Modellierung von Schalen (im Sinne einer Semidiskretisierung in Dickenrichtung) in Entwicklung. Je mehr man sich den 3D-Problemen nähert, desto größer ist die Bedeutung einer effizienten Implementierung. Diverse Fragestellungen der effizienten Implementierung von p-Methoden werden erläutert. Dazu zählt auch die Frage nach geeigneten Netzgeneratoren, die GROBE Netze erzeugen können und dennoch zuverlässig arbeiten. In 2D und 2 1/2 D ist dieses Problem gelöst, nicht jedoch in 3D.

Der Vortrag geht aber auch auf spezielle Anforderungen ein, die ein praktischer Einsatz von hp-FE-Methoden für ``real life problems'' mit sich bringt. Es werden Datenstrukturen, Visualisierungs- und Auswertungsstrategien speziell für hp-FEM diskutiert.

Der Vortrag schließt eine ``Live''-Berechnung verschiedener Probleme ein, anhand derer auf weitere in der Anwendung wichtige Gesichtspunkte eingegangen wird. Selbst in Fällen, in denen keine exponentielle Konvergenz erreicht wird, zeigt sich ein p-Ansatz gegenüber h-Methoden dabei als überlegen.

We consider a singularly perturbed reaction-diffusion problem and derive and rigorously analyse an a posteriori residual error estimator that can be applied to anisotropic finite element meshes. The quotient of the upper and lower error bounds is the so-called matching function which depends on the anisotropy (of the mesh and the solution) but not on the small perturbation parameter. This matching function measures how well the anisotropic finite element mesh corresponds to the anisotropic problem. Provided this correspondence is sufficiently good, the matching function is O(1). Hence one obtains tight error bounds, i.e. the error estimator is reliable and efficient as well as robust with respect to the small perturbation parameter.

Referenz: www.tu-chemnitz.de/~gku/work/conferences/99/fem-symposium/vortrag.ps.gz

Der Vortrag behandelt iterative Neumann-Dirichlet-Substrukturalgorithmen für die Finite Elemente Analyse nichtlinearer dynamischer Systeme. Anwendungsgebiete sind sowohl die Simulation von Mehrfeldsystemen, beispielsweise Fluid-Struktur-Interaktionsprobleme, als auch die partitionierte Berechnung physikalischer Einfeldprobleme in der Strukturdynamik.

Die vorgestellten Algorithmen basieren auf einem Gebietszerlegungsansatz mit nichtüberlappenden Teilgebieten. Die kinematische und dynamische Kopplung am Interface zwischen zwei benachbarten Teilgebieten (Substrukturen) wird erreicht durch Einführung von Dirichlet-Randbedingungen am Kopplungsrand (vorgeschriebene Interface-Bewegungen) für die eine Substruktur, sowie von Neumann-Randbedingungen am Kopplungsrand (Kopplungskräfte) für die andere Substruktur. Die iterative Lösung des resultierenden Interfaceproblems in jedem Zeitschritt entspricht dann einer relaxierten Fixpunktiteration auf den Interface-Freiheitsgraden.

Die Konvergenzgeschwindigkeit dieser Iteration kann mittels unterschiedlicher Ansätze verbessert werden. In diesem Vortrag werden verschiedene solcher Ansätze formuliert und verglichen. Dazu wird die Substrukturiteration jeweils reinterpretiert bzw. umformuliert, unter anderem als Methode des steilsten Abstiegs [1], als Chebychev-Iteration und als konjugiertes Gradientenverfahren. Desweiteren untersuchen die Autoren auch Ansätze zur direkten Bestimmung eines optimalen fixen Relaxationsparameters für die Relaxation der iterativ bestimmten Interfaceverschiebungen.

Anhand von numerischen Beispielen wird schließlich das Konvergenzverhalten der vorgestellten iterativen Substrukturalgorithmen demonstriert und verglichen.

Referenz

[1]	Wall, W.A., Mok, D.P., Ramm, E.: Partitioned Analysis Approach for the Transient, Coupled Response of Viscous Fluids and Flexible Structures. In: ECCM '99, Proc. of the European Conference on Computational Mechanics, Munich, Germany, 31 August - 3 September 1999

In this paper, we design preconditioning operators for the system of grid equations approximating elliptic boundary value problems with jumps in the coefficients. To approximate the problem, we use a quasiuniform triangulation which is characterized by some mesh size. The preconditioning operator is constructed by using the nonoverlapping and overlapping (but without ``overlapping'' in the coefficients) domain decomposition methods. The analysis of these methods is close to the so-called Neumann-Dirichlet domain decomposition method but suggested methods do not require to solve exactly subproblems with the Dirichlet boundary condition. The convergence rate of the corresponding preconditioned iterative process is independent of the mesh size and the jumps in the coefficients.

Ein Problem bei der Software-Entwicklung von Lösern für partielle Differentialgleichungen ist einerseits ein effizientes und andererseits ein flexibles Programm zu erhalten. Ein flexibles Programm beinhaltet zum Beispiel die Möglichkeit der symbolischen Eingabe einer partiellen Differentialgleichung. Desweiteren sollte es möglich sein numerische Algorithmen in einer Sprache zu implementieren, die möglichst nahe an der mathematischen Sprache ist. Eine solche Implementierung kann durch die Sprachkonstruktion des Überladens von Operatoren, wie zum Beispiel der Operatoren +, -, *, in C++ erreicht werden.

Eine zu einfache Implementierung solcher Operatoren führt jedoch zu nicht sehr effizienten Programmen. Dieses Problem wird durch die Verwendung von Expression Templates (Schablonen) vermieden. Hierbei wird jedem Ausdruck oder jeder Formel ein Template zugeordnet. Expression Templates geben jedoch nicht nur die Möglichkeit der symbolischen Eingabe von Formeln, sondern sie erhöhen auch die Effizienz des Programmes. Durch Template Konstruktionen erhält der Compiler zusätzliche Informationen, so daß dieser mehr Möglichkeiten zur Optimierung hat. Dies entspricht der Überlegung, daß die Optimierung eines Programmes nicht dem Entwickler sondern dem Compiler überlassen werden sollte.

Im Vortrag wird erklärt wie Expression Templates insbesondere für Diskretisierungen von partiellen Differentialgleichungen angewendet werden können.

Im industriellen Bergbau entstehen sehr große Deponien mit zum Teil kontaminierten Feinschlämmen. Für eine effiziente Sanierung solcher Absetzanlagen ist die Simulation des Setzungverhaltens unter verschiedensten Bedingungen notwendig.

In mehrjähriger Zusammenarbeit mit der Wismut GmbH wurde ein FEM-Programm entwickelt, mit dem verschiedene Szenarien bearbeitet werden können. Es basiert auf der Theorie poröser Medien und resultiert in einem System aus instationärer Sickerströmung gekoppelt mit einem Elastizitätsproblem.

We describe a general class of layer adapted meshes for which easily to check sufficient conditions for uniform convergence can be formulated. The theory allows a precise analysis of as well upwind finite difference methods as Galerkin and stabilized finite element methods. For a Galerkin method with bilinear elements Linß proved recently superconvergence for the difference of the numerical solution and the interpolant of the exact solution. We ask for a computable superconvergent approximation of the weighted gradient. Such an approximation yields an asymptotically exact a posteriori error estimator.

Die Plattengleichung nach Reissner - Mindlin beinhaltet zwei Schwierigkeiten unterschiedlichen Typs. Beide treten auf, wenn der Dickenparameter t klein wird. Ein Problem ist der Locking-Effekt. Das heißt, eine konforme Diskretisierung auf groben Netzen mit Elementen niederer Ordnung liefert unbrauchbare Ergebnisse. Ein möglicher Ausweg ist der Übergang zu einer gemischten Methode, bzw. eine dazu äquivalente nichtkonforme primale Methode. In der technischen und mathematischen Literatur finden sich eine Reihe verschiedener Elemente, deren Robustheit theoretisch gezeigt und praktisch verifiziert ist. Das zweite Problem ist die singuläre Störung, die zu Grenzschichten führt. Zur effizienten Auflösung der Grenzschicht sind anisotrope Elemente notwendig.

Im Vortrag werden Techniken zur Konstruktion und Analysis von gemischten Elementen auf anisotropen Netzen diskutiert. Sowohl zur Approximation als auch zum Nachweis der Stabilität mittels eines Fortin-Operators werden anisotrope Interpolationsoperatoren verwendet. Da der Ansatzraum der Durchbiegung hier nichtkonform gewählt wird, muß auch ein Konsistenzfehler abgeschätzt werden. Die dafür notwendigen Techniken wurden in [ANS99] entwickelt. Numerische Rechnungen bestätigen die dargestellte Analysis.

[ANS99] Th. Apel, S. Nicaise, J. Schöberl: Crouzeix-Raviart type finite elements on anisotropic meshes. Preprint SFB393/99-10, TU Chemnitz, 1999

In vielen Anwendungen erweist sich eine Kopplung von FEM und BEM als nützlich für die numerische Behandlung partieller Differentialgleichungen. Im Vortrag werden zwei verschiedene Zugänge hierzu beschrieben.

Bei Gebietszerlegungsmethoden werden lokale Teilprobleme betrachtet, die über geeignete Transmissionsprobleme gekoppelt sind. Lokal können dann verschiedene Diskretisierungsverfahren für eine näherungsweise Lösung der lokalen Probleme verwendet werden. Neben verschiedenen FEM Formulierungen bieten Randintegralgleichungen eine große Vielfalt möglicher Formulierungen. Daraus resultiert eine Reihe unterschiedlicher numerischer Verfahren, deren Stabilitäts- und Konvergenzeigenschaften beschrieben werden. Abschließend wird eine allgemeine Theorie für eine Vorkonditionierung beider Diskretiserungsmethoden präsentiert.

Randelementmethoden eignen sich insbesondere für die Behandlung homogener partieller Differentialgleichungen. Andernfalls sind auftretende Volumenpotentiale auszuwerten, was in der Regel eine Vernetzung der betrachten Gebietes verlangt und den Rechenaufwand entscheidend erhöht. Bei Kenntnis einer partikulären Lösung der inhomogenen Differentialgleichung können die Volumenpotentiale jedoch implizit durch Randpotentiale ausgedrückt werden. Zur näherungsweisen Berechnung einer solchen Partikulärlösung wird eine FEM bezüglich eines fiktiven Gebietes verwendet. Dies führt zu einer sequentiellen Kopplung von FEM und BEM, der Algorithmus und entsprechende Fehlerabschätzungen werden angegeben. Diese Heransgehensweise eignet sich insbesondere für die Behandlung von Problemen mit nichtlinearen Randbedingungen.