Adaptive anisotrope Netzsteuerung

Eine adaptive anisotrope Netzsteuerung erfordert im Laufe der Rechnung ein automatisches Erkennen der Anisotropierichtungen sowie das Anpassen der Elemente entlang dieser Richtungen. Dabei ist es formal und praktisch günstig, die adaptiven Schritte aufzuteilen in die Teilaufgaben Informationsgewinnung und Netzgenerierung/-verfeinerung.

Informationsgewinnung

Bei der Informationsgewinnung sucht man diejenigen Informationen, die ein anisotropes Element beschreiben, nämlich Streckungsrichtungen, Streckungsverhältnisse und Elementgröße. Günstigerweise sollten diese Informationen von einem geeigneten anisotropen Fehlerschätzer bereitgestellt werden. Leider gelingt dies im Allgemeinen nur für die letzte Information, die Elementgröße (Volumen).

Elementgröße: aus lokaler Fehlergröße Ü anisotroper Fehlerschätzer

Die ersten beiden Informationen Streckungsrichtungen und Streckungsverhältnisse können (bisher) nicht aus Fehlerschätzern extrahiert werden. Von verschiedenen Forschern wurden deshalb Ansätze vorgeschlagen, die sich grob in die folgenden drei Gruppen einteilen lassen: Untersuchungen der zweiten Ableitungen der FEM-Lösung; Betrachtung der Höhenlinien und/oder Stromlinien; sonstige (Gradient des geschätzten Fehlers, Verteilung gewisser Variablen etc.).

Streckungsrichtung/-verhältnis:

aus approximiertem Hessian

Der am häufigsten genutzte Ansatz verwendet die Matrix der zweiten Ableitungen, d.h. die Hesse-Matrix der FEM-Lösung. Exemplarisch genannt seien hier die Arbeiten

J. Peraire, M. Vahdati, K. Morgan und O.C. Zienkiewicz. Adaptive remeshing for compressible flow computations. J. Comp. Phys., 72:449-466, 1987.
R. B. Simpson. Anisotropic mesh transformation and optimal error control. Applied Numerical Mathematics, 14:183-198, 1994.
V. Dolejsí. Anisotropic mesh adaptation for finite volume and finite element methods on triangular meshes. Comput. Vis. Sci., 1(3):165-178, 1998.
E. D' Azevedo. On optimal bilinear quadrilateral meshes. Eng. Comput., 15(3):219-227, 1999.
G. S. Buscaglia und E. A. Dari. Anisotropic mesh optimization and its application in adaptivity. Int. J. Numer. Methods Eng., 40(22):4119-4136, 1997.
M. J. Castro-Díaz, F. Hecht und B. Mohammadi. New progress in anisotropic grid adaptation for inviscid and viscous flow simulation. In Proceedings of the 4^th Annual International Meshing Roundtable, Seiten 73-85, Albuquerque, NM, 1995. Sandia National Laboratories. Auch Report 2671, INRIA.
D. Ati-Ali-Yahia, Y. Bourgault, J. Dompierre, M. Fortin, W.G. Habashi und M-G. Vallet. Anisotropic mesh adaptation: Towards user-independent CFD solutions: Part I: General principles. Int. J. Numer. Methods Fluids, 32:725-744, 2000.
aus Gradient des geschätzten Fehlers

Sonstige Ansätze betrachten überwiegend die Änderung "geeigneter" Größen, z.B. des Gradienten der Näherungslösung, der Dichte oder der Mach-Zahl, siehe

R. Beinert und D. Kröner. Finite volume methods with local mesh alignment in 2-D. In Adaptive Methods - Algorithms, Theory and Applications, Notes on Numerical Fluid Mechanics, Bd. 46, Seiten 38-53, Braunschweig, 1994. Vieweg.
O. C. Zienkiewicz und J. Wu. Automatic directional refinement in adaptive analysis of compressible flows. Int. J. Num. Meth. Eng., 37:2189-2210, 1994.

Darüberhinaus wird versucht, Anisotropie-Richtungen abzuleiten. Meist sind diese Methoden weniger mathematisch fundiert, sondern eher heuristisch/praktisch motiviert, so z.B. bei CFD-Berechnungen.

aus Höhenlinien, Stromlinien

Ein weiterer, anschaulich einleuchtender Ansatz nutzt die Höhenlinien der FEM-Lösung oder Stromlinien. Diese Herangehensweise geht auf Kornhuber/Roitzsch (1990) zurück, s.a. Scalický/Roos (1999):

R. Kornhuber und R. Roitzsch. On adaptive grid refinement in the presence of internal and boundary layers. IMPACT of Computing in Sci. And Engrg., 2:40-72, 1990.
T. Skalický und H. G. Roos. Anisotropic mesh refinement for problems with internal and boundary layers. Int. J. Numer. Meth. Engrg., 46:1933-1953, 1999.

Netzgenerierung/-verfeinerung

Nachdem die gewünschten anisotropen Netzinformationen bestimmt wurden, erfolgt die anisotrope Netzgenerierung/-verfeinerung. Den meisten anisotropen Methoden liegt eine anisotrope Transformation zugrunde. Dabei wird lokal das Rechengebiet mit Hilfe eines anisotropen Metrik-Tensors in ein Referenzgebiet abgebildet. Dieses wird nun isotrop vernetzt und zurück abgebildet, so dass im Originalgebiet ein anisotropes Netz entsteht.

Für die isotrope Vernetzung des Referenzgebietes kann man auf bekannte Algorithmen zurückgreifen. In Verbindung mit der anisotropen Metrik lassen sich ganz grob drei Strategien unterscheiden, die zum Teil auch gemeinsam genutzt werden: Advancing-Front-Methoden; Delaunay-Vernetzungen; Netzverbesserungs/Netzverfeinerungs-Algorithmen.

unstrukturiert:

fehlende Hierarchie für Löser

hierarchisch:

schlechte Anpassung an Krümmungen

Chemnitzer Vision: Hierarchisch, aber

anisotrop

Im vorangegangenen Abschnitt haben wir uns hauptsächlich auf die Generierung und Verfeinerung der Netze konzentriert. Um jedoch auf Netze mit sehr vielen Elementen (z.B. in 3D ab 1 Million) rechnen zu können, benötigt man effektive Auflösungsverfahren für die entstehenden Gleichungssysteme. Hier sind Multigrid/Multilevel-Ansätze unabdingbar und dafür sind Netz-Hierarchien erforderlich. Die Verbindung von Hierarchien und adaptiven anisotropen Netzen wiederum wurde in der Literatur bisher kaum untersucht.

neue Knoten nicht in Kantenmitte

adaptive Generierung des Hauptnetzes