In den letzten Jahren wurde begonnen, effiziente Lösungsalgorithmen für lineare Gleichungssysteme zu entwickeln, die aus Diskretisierungen mittels p-Version der Finite-Elemente-Methode bzw. von Randelementemethoden resultieren. Dabei wurden verschiedene Zugänge genutzt. Die meisten Auflösungsalgorithmen basieren auf Gebietszerlegungsstrategien (DD-Strategien). Aufgrund des DD-Zugangs besitzen die entwickelten Algorithmen auf natürliche Weise einen großen Anteil an parallel abarbeitbaren Teilschritten, so dass sie für den Ansatz auf Parallelrechnern in hohem Maße geeignet sind. Im Rahmen dieser DD-Verfahren wurden Möglichkeiten zur effektiven Lösung der Sub-Probleme auf Elementinterfaces wesentlich stärker untersucht als effektive Lösungsalgorithmen für die Probleme im Inneren der Teilgebiete (Elemente), so dass hierfür noch intensive Forschungsarbeiten erforderlich sind. Von der Spektralelemente-Methode ist bekannt, dass die entsprechenden Matrizen spektraläquivalent zu Matrizen aus der Diskretisierung mit bilinearen Elementen in den Gauß-Jacobi-Lobatto-Punkten sind. Ein zweiter Zugang zeigt, dass für eine speziell skalierte Basis ser integrierten Legendrepolynome die resultierende Matrix sehr ähnlich zu Diskretisierungen eines elliptischen, degenerierten Operators auf regelmäßigen Netzen bzw. Gittern ist.

In Analogie zu den klassischen Mehrgitterverfahren bei der h-Version der FEM wurden Multi-p-Methoden vorgeschlagen, d.h. ein Multigrid-Verfahren bezüglich wachsendem Polynomgrad p. Diese Verfahren sind sehr effizient für das Schur-Komplement. Jedoch werden für die verschiedenen Levels Polynomgrade p, p-1, p-2, ..., verwendet, was nicht zu einem arithmetisch optimalen Verfahren führt.

Problemstellung / Vorarbeiten:

• p-Version der FEM
• Auflösung der FE-Gleichungssysteme mittels nichtüberlappender Gebietszerlegungsmethoden

• das Schur-Komplement
• die Probleme im Inneren der Teilgebiete

• 2D: Teilgebietsmatrizen sind ähnlich zu den Matrizen, die bei der Diskretisierung von

mittels h-Version der FEM entstehen.

Optimaler Multilevel-Löser in 2D bekannt

• Implementierung der Gesamtstrategie in 2D für Poissongleichung
• Übertragung der Ideen auf Elastizitätsproblem
• Konstruktion eines Multilevel-Teilgebietslösers in 3D

Poisson-Problem im Rechteck (1 Teilgebiet)
Vergleich verschiedener Vorkonditionierer