Analysis I

Koordinaten:
Vorlesung Mo 11:15-12:45 2/B3
Vorlesung Di 13:45-15:15 2/B3

Übung:
Marko Lindner, Carsten Schubert und Margarita Spirova

Übungsblätter

Allgemeines:
Dass solide Analysis-Kenntnisse für viele Bereiche der Mathematik unerlässlich sind, muss wohl nicht unterstrichen werden. In der Vorlesung wird zunächst die Einführung der reellen Zahlen im Mittelpunkt stehen. Danach werden reelle Funktionen untersucht. Zentral ist dabei der Begriff des Grenzwerts, der in unterschiedlichen Manifestationen auftaucht.

Inhalt:
1. Die natürlichen Zahlen
  1.1 Naive Sichtweise
  1.2 Die Peano-Axiome
2. Die reellen Zahlen
  2.1 Motivation und Geschichtliches
  2.2 Körperaxiome - Arithmetik
  2.3 Anordnung und Vollständigkeit
  2.4 Intervallschachtelung und Folgen
  2.5 Rechnen mit Folgen
3. Metrische Räume
  3.1 Definition und Beispiele
  3.2 Offene Mengen, Umgebungen und Stetigkeit
4. Reihen
  4.1 Definition und erste Eigenschaften
  4.2 Konvergenzkriterien
  4.3 Die realen Zahlen: Dezimalbrüche
  4.4 Manipulation von Reihen
  4.5 Die Exponentialfunktion
5. Stetige reelle Funktionen
  5.1 Grenzwerte von Funktionen
  5.2 Der Zwischenwertsatz
  5.3 Der Satz vom Maximum
  5.4 Umkehrfunktionen und allgemeine Potenzen
6. Differentition
  6.1 Differenzierbarkeit: Definition und erste Eigenschaften
  6.2 Lineare Approximation und Tangenten
  6.3 Ableitung der Umkehrfunktion und Kettenregel
  6.4 Höhere Ableitungen
  6.5 Lokale Extrema, Mittelwertsatz und Satz von Rolle
7. Integration
  7.1 Das Riemann-Integral
  7.2 Integration und Differentiation: der HDI

Literatur zur Analysis I:

J. Dieudonne: Foundations of modern analysis.
Academic Press, New york, London 1969 (old school - hard core, gildet immer noch ;-)
Besprechung zur 1. Aufl. aus dem Zbl. auf S.42

Ebbinghaus, H.-D. ; Hermes, H. ; Hirzebruch, F. ; Koecher, M. ; Mainzer, K. ; Prestel, A. ; Remmert, R.: Zahlen. (German) Edited and with an introduction by K. Lamotke. Grundwissen Mathematik, 1. Springer-Verlag, Berlin, 1983. xii+291 pp. ISBN: 3-540-12666-X
In dem vorliegenden ersten Band der Reihe "Grundwissen Mathematik" wurden Beiträge von sieben Autoren zu einem einheitlichen Werk gestaltet, welches in drei Hauptteile zerfällt. Teil A enthält den klassischen Aufbau des Zahlsystems bis zu den komplexen Zahlen einschliesslich des Fundamentalsatzes der Algebra und eines eigenen Kapitels über die Zahl $\pi$. Teil B ist der Theorie und Klassifikation der reellen Divisonsalgebren gewidmet (Sätze von Frobenius, Hopf, Hurwitz und Kervaire-Milnor), und in Teil C findet man je einen überblicksartigen Abschnitt über Nonstandard-Analysis, Conwayspiele und Conwayzahlen und über Logik und Mengenlehre. Eine Fülle historischer Bemerkungen erhöht noch den Wert dieses äusserst sorgfältig geschriebenen und inhaltsreichen Bandes. (aus Zbl. Math. zur 2. Aufl.)

Forster, O. Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer Ver\"anderlichen. 9th revised ed. Vieweg Studium: Grundkurs Mathematik. Braunschweig: Vieweg. x, 290~p. EUR~17.90 (2008).
Publisher's description: Dieses seit \"uber $30$ Jahren bew\"ahrte Standardwerk ist gedacht als Begleittext zur Analysis-Vorlesung des ersten Semesters f\"ur Mathematiker, Physiker und Informatiker. Bei der Darstellung wurde besonderer Wert darauf gelegt, in systematischer Weise, aber ohne zu gro{\ss}e Abstraktionen zu den wesentlichen Inhalten vorzudringen und sie mit vielen konkreten Beispielen zu illustrieren. An verschiedenen Stellen wurden Bez\"uge zur Informatik hergestellt. Einige numerische Beispiele wurden durch Programm-Codes erg\"anzt, so dass die Rechnungen direkt am Computer nachvollzogen werden k\"onnen.Die vorliegende $9$. Auflage wurde an mehreren Stellen weiter \"uberarbeitet und es wurden einige neue Abbildungen und \"Ubungsaufgaben erg\"anzt. (aus Zbl. Math.)

Königsberger, K. Analysis. 1. Springer-Lehrbuch. Springer-Verlag, Berlin, 2004. xiv+412 pp. ISBN: 3-540-40371-X
Die dritte, gegenüber der 2. Auflage (1992; 1. Auflage 1990; Zbl 0711.26001) der ``Analysis 1'' doch bedeutend umfangreicher überarbeitete und erweiterte Auflage der Grundvorlesung, stellt nach wie vor ein unentbehrliches Hilfsmittel zum Selbststudium, zur Verwendung neben einer Vorlesung, zur Nachbereitung von Vorlesungen sowie zur Prüfungsvorbereitung im Fach Mathematik für Mathematikstudenten wie auch für Studenten der Physik, der Wirtschaftswissenschaften sowie der verschiedenen Ingenieurwissenschaften dar. \par Neu aufgenommen worden ist der Abschnitt über summierbare Familien im Kapitel Reihen. Das ebenso neu aufgenommene Kapitel 13 behandelt Differentialgleichungen 1. Ordnung sowie spezielle Differentialgleichungen 2. Ordnung.\par Die zahlreichen Aufgaben mit unterschiedlichem Schwierigkeitsgrad für jedes Kapitel sind eine wesentliche Bereicherung gerade für das Selbststudium; eine kurze Lösungsangabe wäre günstig. Nach wie vor ist bei den Koordinatensystemen fast keine Achsenbezeichnung vorhanden. Dem Leser kommt beim Durcharbeiten des Buches keine ``Müdigkeit'' auf; die Stoffdarbietung ist fliessend, lebendig und mathematisch ausgereift.(aus Zbl. Math. zur 3. Aufl.)