Analysis III für Physiker

Koordinaten:
Vorlesung Di 17:15-18:45 2/SR16
Vorlesung Mi 9:15-10:45 2/D201

Übung:
Carsten Schubert

Übungsblätter ebendort

Allgemeines:
Dass solide Analysis-Kenntnisse für die Physik unerlässlich sind, muss wohl nicht unterstrichen werden.

In diesem Semester stehen Vektoranalysis und Differentialgleichungen im Vordergrund. Eine Einführung in die Funktionentheorie schließt das Semester ab.

Inhalt:
1. Einführung in die Vektoranalysis
   1.1 Motivation
   1.2 Oberflächenintegrale
2. Der Satz über implizite Funktionen und lokale Invertierbarkeit
   2.1 Lineare Abbildungen
   2.2 Lokale Invertierbarkeit
   2.3 Der Satz über implizite Funktionen
3. Gewöhnliche Differentialgleichungen
   3.1 Einführung und Beispiele
   3.2 Reduktion auf Systeme erster Ordnung
   3.3 Phasenraumportraits
   3.4 Das Eulersche Polygonzugverfahren
   3.5 Zwischenspiel: Der Satz von Arzela-Ascoli
   3.6 Der Existenzsatz von Peano
   3.7 Globale und maximale Lösungen
   3.8 Das Gronwallsche Lemma und Eindeutigkeit
4. Lineare Differentialgleichungen
   4.1 Existenz von Lösungen und Struktur der Lösungsmenge
   4.2 Lineare Systeme mit konstanten Koeffizienten
   4.3 Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung
   4.4 Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten
5. Dynamische Systeme
   5.1 Flüsse und dynamische Systeme
   5.2 Asymptotik von Orbits
6. Funktionentheorie
   6.1 Einleitung
   6.2 Die komplexe Zahlenebene
   6.3 Potenzreihen und analytische Funktionen
   6.4 Rechnen mit holomorphen Funktionen
   6.5 Reelle vs komplexe Differenzierbarkeit: die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen
   6.6 Exponentialfunktion, trigonometrische Funktionen und der komplexe Logarithmus
   6.7 Komplexe Kurvenintegrale und Integraldarstellung holomorpher Funktionen
   6.8 Holomorphe Funktionen sind analytisch
   6.9 Der Satz von Liouville, der Fundamentalsatz der Algebra und der Identitätssatz
   6.10 Der Cauchysche Integralsatz

Literatur zur Analysis III:

G. Wirsching: Gewöhnliche Differentialgleichungen. Eine Einführung mit Beispielen, Aufgaben und Musterlösungen.
Wiesbaden: Vieweg, 2006
Besprechung aus dem Zbl. von [Helmut K�cher (Dresden)]: Basierend auf physikalischen und biologischen Beispielen wird recht fundiert in das Gebiet der ``Gew�hnlichen Differentialgleichungen'' eingef�hrt. Neben der Darstellung von Verbindungen der mathematischen Modelle zu Naturph�nomenen und naturphilosophischen Ideen erfolgt eine pr�zise mathematische Formulierung vor allem auch mit Blick auf die Theorie dynamischer Systeme.\par Diese Einf�hrung in ``Gew�hnliche Differentialgleichungen'' mit Beispielen und Aufgaben beinhaltet auch den Existenzsatz von Peano, globale Existenz- und Eindeutigkeitsaussagen wie das Laplacesche D�mon, Phasenportraits und Stabilit�t, autonome lineare DGL-Systeme, Stetigkeit und Differenzierbarkeit der L�sungen, dynamische Systeme und Fl�sse, Langzeitverhalten von L�sungen sowie die Liouvillesche Volumenformel.\par In einem recht umfangreichen Anhang werden topologische Grundlagen erl�utert sowie zu vielen Aufgaben ausf�hrliche Musterl�sungen vorgestellt. Die Grafiken erscheinen als Tafelmitschrift -- entsprechende Rechnerdarstellungen w�ren an ausgew�hlten Positionen empfehlenswert.\par Das Lehrbuch ist vor allem f�r Studierende der Mathematik und Naturwissenschaften an Universit�ten geeignet.

To be continued ...