Analysis III für Physiker

Koordinaten:
Vorlesung Di 17:15-18:45 2/SR16
Vorlesung Mi 9:15-10:45 2/D201

Übung:
Carsten Schubert

Übungsblätter ebendort

Allgemeines:
Dass solide Analysis-Kenntnisse für die Physik unerlässlich sind, muss wohl nicht unterstrichen werden.

In diesem Semester stehen Vektoranalysis und Differentialgleichungen im Vordergrund. Eine Einführung in die Funktionentheorie schließt das Semester ab.

Inhalt:
1. Einführung in die Vektoranalysis
   1.1 Motivation
   1.2 Oberflächenintegrale
2. Der Satz über implizite Funktionen und lokale Invertierbarkeit
   2.1 Lineare Abbildungen
   2.2 Lokale Invertierbarkeit
   2.3 Der Satz über implizite Funktionen
3. Gewöhnliche Differentialgleichungen
   3.1 Einführung und Beispiele
   3.2 Reduktion auf Systeme erster Ordnung
   3.3 Phasenraumportraits
   3.4 Das Eulersche Polygonzugverfahren
   3.5 Zwischenspiel: Der Satz von Arzela-Ascoli
   3.6 Der Existenzsatz von Peano
   3.7 Globale und maximale Lösungen
   3.8 Das Gronwallsche Lemma und Eindeutigkeit
4. Lineare Differentialgleichungen
   4.1 Existenz von Lösungen und Struktur der Lösungsmenge
   4.2 Lineare Systeme mit konstanten Koeffizienten
   4.3 Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung
   4.4 Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten
5. Dynamische Systeme
   5.1 Flüsse und dynamische Systeme
   5.2 Asymptotik von Orbits
6. Funktionentheorie
   6.1 Einleitung
   6.2 Die komplexe Zahlenebene
   6.3 Potenzreihen und analytische Funktionen
   6.4 Rechnen mit holomorphen Funktionen
   6.5 Reelle vs komplexe Differenzierbarkeit: die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen
   6.6 Exponentialfunktion, trigonometrische Funktionen und der komplexe Logarithmus
   6.7 Komplexe Kurvenintegrale und Integraldarstellung holomorpher Funktionen
   6.8 Holomorphe Funktionen sind analytisch
   6.9 Der Satz von Liouville, der Fundamentalsatz der Algebra und der Identitätssatz
   6.10 Der Cauchysche Integralsatz

Literatur zur Analysis III:

G. Wirsching: Gewöhnliche Differentialgleichungen. Eine Einführung mit Beispielen, Aufgaben und Musterlösungen.
Wiesbaden: Vieweg, 2006
Besprechung aus dem Zbl. von [Helmut Köcher (Dresden)]: Basierend auf physikalischen und biologischen Beispielen wird recht fundiert in das Gebiet der ``Gewöhnlichen Differentialgleichungen'' eingeführt. Neben der Darstellung von Verbindungen der mathematischen Modelle zu Naturphänomenen und naturphilosophischen Ideen erfolgt eine präzise mathematische Formulierung vor allem auch mit Blick auf die Theorie dynamischer Systeme.\par Diese Einführung in ``Gewöhnliche Differentialgleichungen'' mit Beispielen und Aufgaben beinhaltet auch den Existenzsatz von Peano, globale Existenz- und Eindeutigkeitsaussagen wie das Laplacesche Dämon, Phasenportraits und Stabilität, autonome lineare DGL-Systeme, Stetigkeit und Differenzierbarkeit der Lösungen, dynamische Systeme und Flüsse, Langzeitverhalten von Lösungen sowie die Liouvillesche Volumenformel.\par In einem recht umfangreichen Anhang werden topologische Grundlagen erläutert sowie zu vielen Aufgaben ausführliche Musterlösungen vorgestellt. Die Grafiken erscheinen als Tafelmitschrift -- entsprechende Rechnerdarstellungen wären an ausgewählten Positionen empfehlenswert.\par Das Lehrbuch ist vor allem für Studierende der Mathematik und Naturwissenschaften an Universitäten geeignet.

To be continued ...