Harmonische Analysis
Vorlesung im Wintersemester 2010/2011 an der TU ChemnitzDaten:
Mittwoch, 19:00-20:30, Raum B202Freitag, 11:00-12:30, Raum N002, ACHTUNG
Überblick:
Die Harmonische Analysis ist ein zentrales Gebiet der Analysis mit einer Vielzahl von Anwendungen innerhalb und außerhalb der Mathematik. Sie entstand durch die Erfindung der Fourier-Reihen und Fourier-Integrale und beschäftigt sich in ihrer abstrakten Form mit der Darstellung lokalkompakter abelscher Gruppen.
Inhalt:
1. Fourierreihen und Fourierintegrale1.1 Fourierreihen: Definition und erste Resultate
1.2 Fourierintegrale: Definition und erste Resultate
1.3 Faltung, Delta-Folgen und der Satz von Fejer
1.4 Eindeutigkeit der Fourierkoeffizienten und die klassischen Kerne
1.5 Einige Anwendungen von Fourierreihen
2. Fourieranalysis und Anwendungen auf Partielle Differentialgleichungen
2.1 Fourierintegrale und Fourier-Umkehrsatz
2.2 Die Fouriertransformation von Massen
2.3 Harmonische Funktionen und der Poisson-Kern
2.4 Hardyräume und ein bis zwei Sätze von den Brüdern Riesz
2.5 Wärmeleitungsgleichung und Wellengleichung
3. Abstrakte harmonische Analysis
3.1 Grundlegende Konzepte
3.2 Endliche abelsche Gruppen
3.3 Das Haarmaß
3.4 Drei Sätze für ein Halleluja
3.5 Die duale Gruppe
3.6 Faltungsalgebra und Fouriertransformation
3.7 Die duale Gruppe im schönen Fall
A. Kompaktheit und der Satz von Tychonov
B. Der Satz von Alaoglu-Bourbaki
C. Der Satz von Riesz[-Markov-Kakutani]
Literatur:
Dym, H., McKean, H. P.: Fourier series and integrals. Probability and Mathematical Statistics, No. 14, Academic Press, New York, 1972
Helson, Henry . Harmonic analysis. Addison-Wesley Publishing Company, Advanced Book Program, Reading, MA, 1983. xii+190 pp. ISBN: 0-201-12752-0
Katznelson, Yitzhak . An introduction to harmonic analysis. John Wiley & Sons, Inc., New York-London-Sydney 1968
Stein, Elias M. ; Weiss, Guido . Introduction to Fourier analysis on Euclidean spaces. Princeton Mathematical Series, No. 32. Princeton University Press, Princeton, N.J., 1971.
Stein, Elias M. Singular integrals and differentiability properties of functions. Princeton Mathematical Series, No. 30 Princeton University Press, Princeton, N.J. 1970.
Stein, Elias M. Topics in harmonic analysis related to the Littlewood-Paley theory. Annals of Mathematics Studies, No. 63 Princeton University Press, Princeton, N.J.; University of Tokyo Press, Tokyo 1970