Grundprobleme der Lagensynthese

Gegeben ist eine Ebene E, die in mehreren Lagen \(E_1\), \(E_2\),\(E_3\), … in einer Bezugsebene \(E_0\) liegt.
Gesucht ist ein Punkt X (oder mehrere solcher Punkte) der Ebene E, der in seinen Lagen \(X_1\), \(X_2\), \(X_3\), … in \(E_0\) jeweils den gleichen Abstand von einem Punkt \(X_0\) in der Bezugsebene \(E_0\) hat und damit auf einem Kreis in \(E_0\) liegt.

Die Lage einer bewegten Ebene E gegenüber der ruhenden Bezugsebene \(E_0\) lässt sich in einfacher Weise durch zwei Punkte der Ebene E (z. B. A und B)
oder

durch einen Punkt (z. B. C) und den dazugehörigen Lagewinkel \(\beta\) beschreiben. Als Bezugsachse der Winkelmessung dient die x-Achse des in der Bezugsebene \(E_0\) angeordneten Koordinatensystems x, y (GAUSSsche Zahlenebene).

Umgekehrt kann ein Punkt \(X_0\) in der Bezugsebene \(E_0\) als Mittelpunkt eines Kreises gesucht sein, auf dem ein Punkt X einer in den Lagen \(E_1\), \(E_2\), \(E_3\), … in \(E_0\) gegebenen Ebene E in seinen Lagen \(X_1\), \(X_2, X_3\), … liegt. Der Punkt X wird Kreispunkt, der Punkt \(X_0\) wird Mittelpunkt genannt. Beides sind konjugierte (einander zugeordnete) Punkte.

Die Lagen \(X_1\), \(X_2\), \(X_3\), … des Punktes X werden homologe (entsprechende) Punkte genannt.

Der Aufwand für die Konstruktion von Kreis- und Mittelpunkten wird um so größer, je mehr Lagen der Ebene E in der Bezugebene \(E_0\) vorgegeben werden. Außerdem wird dadurch die Anzahl der frei wählbaren Parameter sowie die Anzahl möglicher Lösungen eingeschränkt.

Von Burmester wurde bewiesen, dass es theoretisch für das Grundproblem der Lagensynthese nur bis zu 5 Lagen der Ebene E reele Lösungen gibt.

Für praktische Aufgabenstellungen wird empfohlen, möglichst nur 3 oder 4 Lagen – oder bei mehr Lagen spezielle (z. B. symmetrische) Anordnungen – zu verwenden.

Weiterhin ist bekannt, dass es für die Lagensynthese eines Viergelenkgetriebes für N vorgegebene Einzellagen ohne Antriebswinkelzuordnung 3N Gleichungen (Bedingungen) und (N+10) Unbekannte (Parameter) gibt.

Die frei wählbaren Parameter (WP) sind somit von der Anzahl der zu erfüllenden Einzellagen abhängig und bestimmen die konstruktiven Gestaltungsmöglichkeiten, welche sich aus der Charakteristik der Kreis- und Mittelpunkte ergeben.