Ermittlung von Führungsgliedern mit einem Dreh- und einem Schubgelenk

Einleitung

Bei drei Lagenzuordnungen liegt jeder Punkt der einen Gliedebene in seinen 3 Lagen relativ zur anderen Ebene auf einem Kreis, so dass für Führungsglieder mit zwei Drehgelenken prinzipiell jeder Gliedpunkt verwendbar ist.

Zur Ermittlung von Führungsgliedern mit einem Schubgelenk sind nur solche Gliedpunkte (Kreispunkte) zu bestimmen, die in ihren drei Lagen relativ zur anderen Ebene auf einer Geraden liegen, d. h. deren zugeordnete Mittelpunkte im Unendlichen liegen.

Zur Ermittlung dieser Punkte benötigt man die Pole und den Poldreiecksumkreis. Jeweils zwei Lagen $E_1$ und $E_2$ einer Ebene ist eindeutig ein Pol oder Drehpol $P_{12}$ als Schnittpunkt zweier Mittelsenkrechten auf den Kreispunktstrecken zugeordnet.

Poldreieck, Grundpunkt und Symmetriepunkt

Es ergeben sich bei drei Lagenzuordnungen an jeder der beiden Gliedebenen drei Pole, die ein so genanntes Poldreieck bilden. Für das Beispiel gilt daher, dass $X_1$ und $X_2$ auf einem Kreis $x_{12}$ um $P_{12}$ liegen müssen, ebenso liegen $Y_1$ und $Y_2$ auf einem Kreis $y_{12}$ um $P_{12}$ oder $Y_1$ und $Y_3$ auf einem Kreis $y_{13}$ um $P_{13}$ usw. .

Die Kreise $x_{12}$, $x_{13}$, $x_{23}$ schneiden sich in einem Punkt $X_{123}$, die Kreise $y_{12}$, $y_{13}$, $y_{23}$ schneiden sich in einem Punkt $Y_{123}$ . Diese Schnittpunkte $X_{123},Y_{123}$ werden Grundpunkte zu den homologen Punkten $X_1,\dots X_3$ bzw. $Y_1,\dots Y_3$ genannt.

Der Grundpunkt $X_{123}$ ist der Symmetriepunkt zu $X_1$ gegenüber der Polgeraden $P_{12}{P}_{13}$, zu $X_2$ gegenüber der Polgeraden $P_{12}{P}_{23}$ und zu $X_3$ gegenüber der Polgeraden $P_{13}{P}_{23}$. In gleicher Weise ist der Grundpunkt $Y_{123}$ der Symmetriepunkt zu $Y_1$ bzw. $Y_2$ bzw. $Y_3$ .

Die Poldreieckswinkel werden entgegen dem Uhrzeigersinn positiv gezählt: $$a_{12}+a_{23}+a_{31}=180°$$

Poldreiecke und Spiegelpoldreiecke

Wird die Lage 2 ($X_2{Y}_2$) um den Pol $P_{12}$ in die Lage $E_1$ zurückgedreht, so gelangt auch der Pol $P_{23}$ in die Lage 1 und wird in dieser Lage als $P_{23}^1$ bezeichnet. Er bildet nun den dritten Eckpunkt des Spiegelpoldreiecks $P_{12}{P}_{13}$ $P_{23}^1$ in der Ebene $E_1$.

In entsprechender Weise wird auch die Lage des Poles $P_{12}$ in der Ebene $E_3$ gefunden und mit $P_{12}^3$ bezeichnet sowie die Lage des Poles $P_{13}$ in der Ebene $E_2$ ermittelt und mit $P_{13}^2$ benannt.

Die 3 Spiegelpoldreiecke sind: $P_{12}{P}_{13}{P}_{23}^1$, $P_{12}{P}_{13}^2{P}_{23}$, $P_{12}^3{P}_{13}{P}_{23}$

Poldreieck und Spiegelpoldreieck sind somit spiegelbildlich und berühren sich für jede Relativlage jeweils an der Dreiecksseite, die dem Pol gegenüber liegt, der nicht der betrachteten Relativlage angehört.

Lage der homologen Punkte bei unendlich fernem Mittelpunkt

Jeder Ebenenpunkt auf dem Umkreis des Poldreiecks in der betreffenden Ebene (z. B. $S_0$ auf Kreis $u_0$ in der Ebene $E_0$ bzw. der Punkt $D_i$ auf dem Kreis $u_i$ in der Ebene $E_i$) liegt in seinen drei Lagen relativ zur jeweils anderen Ebene auf einer Geraden (Gerade $s_i$ in der Ebene $E_i$ durch $S_0$ bzw. Gerade $d$ in $E_0$).

Diese Schubgeraden verlaufen einerseits in jeder Relativlage durch den gewählten Punkt und andererseits durch den Höhenschnittpunkt $H_i$ bzw. $H_{123}$.

$H_i$ bzw. $H_{123}$ ergeben sich jeweils als Schnittpunkte des Lotes vom Pol $P_{jk}$ auf die Dreiecksseite $P_{ij}{P}_{ik}$ mit dem Dreiecksumkreis $u_0$ bzw. $u_i$.

Beispiele