Teilaufgabe: Entwicklung effizienter Auflösungsverfahren für
Probleme in Gebieten, für die keine grobe Triangulation konstruierbar ist
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Aufgabenstellung:
Im Teilprojekt A3 (schnelle Löser, analytische
Konstruktion) des Sonderforschungsbereichs 393 wird die folgende Teilaufgabe betrachtet.
Es sollen vorkonditionierte hierarchische Verfahren (HPCCG) für die effektive
numerische Lösung von großen Gleichungssystemen entwickelt werden, die
im Ergebnis einer quasiuniformen, unstrukturierten Diskretisierung von zunächst
zweidimensionalen elliptischen Randwertaufgaben entstehen, cf.
[Gl3,Gl7].
Unter Benutzung von Einbettungsaussagen kann das ursprüngliche Problem auf
ein Hilfsproblem abgebildet werden, in dem nun sowohl die hierarchische
Gitterinformation als auch der entsprechende Vorkonditionierer auf der Basis der
Zerlegung von Funktionen über eben diesem hierarchischen Hilfsgitter verfügbar
sind. Dadurch sind die übliche hierarchische Vorkonditionierung nach
Yserentant und die Multilevel BPX-Vorkonditionierung künstlich konstruierbar
und werden als Vorkonditionierer für das konjugierte Gradientenverfahren
programmiert. Die entwickelte Software ist in [Gl7]
beschrieben. Beide Methoden erfordern einen Rechenaufwand, der proportional zur
Zahl der Unbekannten im Gleichungssystem und damit rechentechnisch optimal ist,
cf. [Gl3,Gl7]. Diese künstlich konstruierten
hierarchischen Löser sind von beträchtlicher praktischer Relevanz.
In der Industrie sind die Randwertaufgaben oft derart diskretisiert, dass nur
die Knotenkoordinaten und der Elementzusammenhang des eher feinen, unstrukturierten
Gitters bekannt sind, cf. [Gl4]. Vermöge der
Ergebnisse der Teilaufgabe sind dann die entsprechenden Gleichungssysteme
dennoch hierarchisch und damit schneller auflösbar, siehe auch
[Gl7]. Der Konstruktionsansatz solcher Verfahren
ist analog für die Lösung von real dreidimensionalen Aufgaben einsetzbar,
siehe [Gl8].
Siehe dazu auch dieses Bild bzw.
als Postscript.
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Mitarbeiter:
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H. Rhein und G. Globisch, Oktober 1997