Teilaufgabe: Entwicklung von DD- und Multilevel- Vorkonditionierern
für Platten- und Schalenprobleme
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Aufgabenstellung:
Es sollen Domain-Decomposition- (DD-) und Multilevel-
Vorkonditionierer für die effektive numerische Lösung von großen
Gleichungssystemen entwickelt werden, die im Ergebnis sowohl konformer
als auch nichtkonformer Diskretisierungen von Platten- und Schalenproblemen
entstehen. Es werden dünne Platten bzw. Schalen unter kleinen
Deformationen betrachtet, außerdem werden zur physikalische Modellierung
die Hypothesen von Kirchhoff-Love benutzt. Diese führen im Fall von
Platten zu einer Beschreibung der Verformung durch eine biharmonische
Differentialgleichung, im Fall von Schalen ergeben sich nach
unterschiedlichen Vereinfachungen (Koiter, Novozhilov usw.) Systeme
elliptischer Differentialgleichungen ebenfalls vierter Ordnung.
Für die biharmonische Differentialgleichung wurden für die konforme
Diskretisierung mit Bogner-Fox-Schmit- (BFS-) Elementen und für die
nichtkonforme Diskretisierung mit Adini-Elementen in [Ma1],[Ma2]
asymptotisch optimale DD-Vorkonditionierer entwickelt. Die Vorkonditionierer
basieren auf der nichtüberlappenden Gebietszerlegungsmethode; im Inneren der
Teilgebiete wird die Methode der Randpotentiale
als direkter Löser benutzt, während auf dem Koppelrand eine BPX-artige
Vorkonditionierungstechnik zum Einsatz kommt. In [Ma2] ,
[T2] werden
für Schalenprobleme basierend auf den Modellen von Novozhilov bzw. Koiter,
welche mittels BFS- und Adini Elementen diskretisiert wurden,
BPX-artige Vorkonditionierer beschrieben, deren Iterationszahlen ebenfalls
unabhängig von der Gitterweite sind. Diese können nun auch zur
Teilgebietsvorkonditionierung im Rahmen des oben erwähnten DD-
Vorkonditionierers verwendet werden, wie dies in [Ma2] für Zylinderschalen
geschieht, oder im Rahmen von DD-Vorkonditionierern mit Nebenbedingungen zur
effektiven Lösung von Problemen aus verschiedenen Schalen zusammengesetzter
Bauteile Einsatz finden. Letzteres stellt einen weiteren aktuellen
Forschungsschwerpunkt dar. Alle beschriebenen Algorithmen sind auf
Parallelrechnern implementiert; ein Beispiel stellt das Programm
SPC-PM EL2,5D dar, welches unter Verwendung BPX-artiger Vorkonditionierungstechniken
die Verformung beliebiger Schalen, beruhend auf der Diskretisierung
der Koiterschen Differentialgleichungen mittels BFS- und Adini- Elementen, effizient berechnet.
Siehe dazu das Beispiel der Verformung eines Kühlturms unter Windlast.
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H. Rhein und M. Thess, Oktober 1997