Elastische Kurven

Themenvorschlag zum Computerpraktikum im Sommer 2021

Wie lässt sich das Verhalten biegsamer Materialien beschreiben? Diese Frage beschäftigte Wissenschaftler bereits im 17. Jahrhundert, darunter Galileo, Hooke und J. Bernoulli. Im Jahr 1739 schlug D. Bernoulli in einem Brief an Euler vor, die Biegeenergie \[ \int_\gamma\kappa(s)^2\,\mathrm ds \] zur Modellierung zu verwenden. Hierbei beschreibt \(\gamma:[0,L]\to\mathbb R^2\) eine glatte Kurve in Bogenlängenparametrisierung (d. h. \(|\gamma'|=1\)) und \(\kappa(s)=|\gamma''(s)|\) ist ihre Krümmung im Punkt \(s\in[0,L]\).

Euler gelang es 1742, die (planaren) Gleichgewichtszustände der Biegeenergie, sogenannte Elasticae, zu klassifizieren. Ein Beispiel findet sich in nebenstehender Abbildung. Im 19. Jahrhundert wurden mit Hilfe spezieller Funktionen explizite Lösungen berechnet.

Die Biegeenergie spielt heute noch eine große Rolle im Bereich der Modellierung. Anwendungen finden sich z. B. in der Molekularbiologie, Textilindustrie und Computergraphik.

In diesem Praktikum geht es darum, Elasticae mit vorgegebenen Nebenbedingungen (Länge der Kurve, Anfangs- und Endpunkt sowie Tangenten) einerseits durch explizite Formeln und andererseits durch Optimierungsroutinen aus Softwarepaketen (Matlab oder Julia) zu konstruieren. Darüberhinaus sollen auch Elasticae in höheren Dimensionen und ggf. Selbstkontaktprobleme untersucht werden.