Geometrische Knotentheorie / Geometric Knot Theory (2V/2Ü)

Vorlesung mit Übungen / Lecture with exercise class, Sommer 2021

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Knoten und Verschlingungen sind Gegenstände unseres Alltags und treten in ganz verschiedenen Bereichen auf (Schnürsenkel, Taue, Elektrokabel, Unterseekabel, Makromoleküle, koronale Magnetfeldlinien, …). Ihre mathematische Beschreibung ist überraschend kompliziert. In dieser Vorlesung werden wir mathematische Charakterisierungen von Verknotungen und Verschlingungen studieren. Insbesondere können analytische Größen zur Untersuchung topologischer Eigenschaften verwendet werden.

Ein klassisches Beispiel hierfür ist der Satz von Fáry–Milnor, dem zufolge die Brückenzahl, eine wichtige Knoteninvariante, nach oben durch die Totalkrümmung beschränkt ist, die sich rein analytisch berechnen lässt.

Wir beginnen mit einem klassischen Resultat, der Verschlingungszahl, die misst, wie häufig eine geschlossene Kurve eine weitere umläuft. Sie ist eine topologische Invariante, denn ihr Wert ist stets ganzzahlig und ändert sich nicht bei kleinen Deformationen. Sie berechnet sich als die Summe der mit den Faktoren \(\pm\tfrac12\) gewichteten Überschneidungen in einer geeigneten Projektion wie in der nebenstehenden Abbildung. Dort lassen sich die beiden Kurven offenbar separieren, was bei Werten ungleich null nicht möglich ist.

Die Verschlingungszahl tritt in der algebraischen Topologie, der nichtlinearen Analysis und einigen Anwendungen im Bereich der Quantenmechanik, des Elektromagnetismus und der Molekularbiologie auf. Tatsächlich liefert sie das einfachste nichttriviale Beispiel des Abbildungsgrads, eines grundlegenden Konzepts der nichtlinearen Funktionalanalysis. Im Jahr 1833 fand Gauß die bekannte Formel \[ \mathrm{Lk}(\gamma,\tilde\gamma) = \frac1{4\pi}\iint \frac{\det\left(\gamma(x)-\tilde\gamma(\tilde x),\gamma'(x),\tilde\gamma'(\tilde x)\right)}{|\gamma(x)-\tilde\gamma(\tilde x)|^3}\, \mathrm d x \, \mathrm d \tilde x, \] wobei \(\gamma,\tilde\gamma\) die beiden Kurven parametrisieren.

Im Fall einer Kurve \(\gamma\) mit (stetigem) Normalenfeld \(a\) wie in nebenstehender Skizze lässt sich für hinreichend kleine \(\varepsilon>0\) die Verschlingung von \(\gamma\) mit \(\tilde\gamma=\gamma+\varepsilon a\) betrachten. Nun kann man fragen, welchen Einfluss die Geometrie von \(\gamma\) auf die Verschlingungszahl hat und inwiefern diese nur durch \(a\) bestimmt wird.

Eine Antwort liefere Călugăreanu im Jahr 1959 durch ihre Zerlegung das nur von \(\gamma\) abhängende Writhe-Funktional und den Twist, der die Windungen von \(a\) um \(\gamma\) zählt. Im Gegensatz zur Verschlingungszahl sind die beiden Funktionale keine topologischen Invarianten; sie hängen erheblich von der Geometrie der Kurve bzw. des Normalenfelds ab.

Im weiteren Verlauf der Vorlesung werden wir Verknotungen mittels des Isotopie-Begriffs mathematisch formulieren. In diesem Fall erhalten wir durch ein der Verschlingungszahl recht ähnliches Funktional, der average crossing number \[ \mathrm{acn}(\gamma) = \frac1{4\pi}\iint \frac{\left|\det\left(\gamma(x)-\gamma(\tilde x),\gamma'(x),\gamma'(\tilde x)\right)\right|}{|\gamma(x)-\gamma(\tilde x)|^3}\, \mathrm d x \, \mathrm d \tilde x, \] eine obere Schranke für die Komplexität eines Knotens. Erneut können wir durch geometrische Größen Informationen über die Topologie gewinnen.

Weitere mögliche Themen sind

• die Totalkrümmung von Kurven,
• Symmetrie von Knoten,
• die "Dicke" von Knoten und Knotenenergien,
• Knotenpolynome,
• elastische Knoten.