Variationsmethoden / Variational methods (4V/2Ü)

Vorlesung mit Übungen / Lecture with exercise class, Winter 2021/22

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Viele Fragestellungen aus Natur- und Wirtschaftswissenschaften führen auf Minimierungsprobleme. Lösungstechniken im endlich-dimensionalen Fall wurden bereits in den Grundvorlesungen diskutiert. Wenn man jedoch eine Kurve oder Fläche sucht, die unter bestimmten Nebenbedingungen das Längen- bzw. Flächenfunktional oder die Lagrange-Funktion eines physikalischen Systems minimiert, bewegt man sich in unendlich-dimensionalen Vektorräumen bzw. Mannigfaltigkeiten, deren Behandlung weitergehende Techniken erfordert, häufig mit funktionalanlytischem Bezug.

In der Vorlesung befassen wir uns mit Funktionalen, also reellwertigen Abbildungen \[\mathscr F:\mathcal A\to\mathbb R,\] auf einer nichtleeren (!) Teilmenge \(\mathcal A\) eines unendlich-dimensionalen Vektorraums \(X\), z. B. \(X = C^0(\overline\Omega)\) für ein Gebiet \(\Omega \subset\mathbb R^n\). Gesucht sind nun hinreichende oder notwendige Bedingungen für einen Minimierer, also \(u\in\mathcal A\) mit \(\mathscr F[u] \le \mathscr F[v]\) für alle \(v\in \mathcal A\). Hierzu kann man kleine Störungen studieren, sogenannte Variationen von \(u\), z. B. \(u+\varepsilon\varphi\) mit \(\varepsilon\in\mathbb R\) und \(\varphi\in X\), um Informationen über den Minimierer zu gewinnen. Dieser Ansatz ist Gegenstand der Variationsrechnung, die mit unterschiedlichen Schwerpunkten als Teilgebiet der Analysis und Optimierung aufgefasst werden kann.

Eine große Zahl von Variationsproblemen führt auf Lagrange-Funktionale der Gestalt \[\mathscr F[v] = \int_\Omega F(x,v(x),\nabla v(x))\;\mathrm dx\] mit einer geeigneten Funktion \(F: \Omega\times\mathbb R\times\mathbb R^n \to \mathbb R\), die im Zentrum dieser Vorlesung stehen.

Die Frage nach Existenz von Minimierern ist in unendlicher Dimension naturgemäß schwieriger zu beantworten. Insofern führen wir zunächst eine Reihe funktionalanalytischer Werkzeuge ein; hierzu gehört insbesondere die Klasse der Sobolev-Funktionen, die sich bei der Behandlung einer großen Klasse von Variationsproblemen als besonders praktisch erweisen wird.

• Funktionalanalytische Grundlagen (Stetige Funktionen und Ableitungen, Hölder-Räume, Lebesgue-Räume, Sobolev-Räume, Stetige Einbettungen, Dualräume, Reflexivität, Schwache Konvergenz)
• Existenz (Funktionale auf reflexiven Banachräumen, skalare und vektorielle Lagrange-Funktionale)
• Minimierung unter Nebenbedingungen (Isoperimetrische, holonome, nicht-holonome Nebenbedingungen, Hindernisprobleme)
• Sattelpunkte und Dualität
• Anwendungen

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