Harmonische Analysis
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Harmonische Analysis 

Differentialgeometrie / Differential geometry (4V/2Ü)

Vorlesung mit Übungen / Lecture with exercise class, Sommer 2022

Upon request, this course will be held in English. Please send an email if you are interested in this option.

Im Zentrum dieser Vorlesung steht die Analysis auf differenzierbaren Mannigfaltigkeiten. Da diese keine Vektorräume sind, müssen einige Begrifflichkeiten angepasst werden. So tritt an die Stelle der Ableitung der Zusammenhang. Geraden werden durch lokal kürzeste Kurven, sogenannte Geodätische ersetzt.

Weiterhin helfen verschiedene Krümmungsbegriffe bei der Untersuchung einer Mannigfaltigkeit, z. B. die Gauß-Krümmung. Besonders interessant sind Aussagen, die eine Verbindung zwischen geometrischen und topologischen Eigenschaften einer Mannigfaltigkeit herstellen. So hängt dem Satz von Gauß-Bonnet zufolge das Mittel der Gauß-Krümmung einer geschlossenen kompakten zweidimensionalen orientierbaren Fläche nur von der Euler-Charakteristik ab, ist also durch die topologische Gestalt der Fläche vollständig bestimmt.

Inhaltsübersicht

  • Parametrisierte Flächenstücke, erste Fundamentalform
  • Gauß- und Weingarten-Abbildung, Krümmung, zweite Fundamentalform
  • Isometrien, Theorema egregium, Gauß-Gleichung
  • Paralleltransport, Geodätische
  • Der Satz von Gauss-Bonnet und seine Anwendungen, Euler-Charakteristik
  • Riemannsche Mannigfaltigkeiten
  • Der Laplace-Beltrami-Operator
  • Zusammenhang und Krümmung
  • Die Geometrie von Untermannigfaltigkeiten
  • Geodätische und Jacobifelder
Dozent Philipp Reiter, Raum C46.719, ,
Sprechstunde nach Vereinbarung
Termine Vorlesung und Übung finden zeitsynchron als Hybridveranstaltungen statt.
Bitte melden Sie sich in Opal an; dort finden Sie auch den Link zur Videokonferenz.
Voraussetzungen Grundvorlesungen in Analysis und Linearer Algebra sowie Vektoranalysis. Weitere analytische Vorkenntnisse, insbesondere Variationsmethoden, sind hilfreich, aber nicht zwingend erforderlich.
Zielgruppe Die Vorlesung richtet sich in erster Linie an Studierende der mathematischen Bachelor- und Master-Studiengänge; andere Interessenten sind nach Absprache ebenfalls willkommen.
Übungen Wöchentlich werden Übungsaufgaben gestellt und besprochen.
Bei Fragen können Sie sich auch an Vincent Sommer ( ) wenden.
Modulprüfung Mündliche Prüfung (Details werden in der Vorlesung bekanntgegeben)
Literatur Bär: Elementare Differentialgeometrie (De Gruyter 2010)
do Carmo: Differential geometry of curves and surfaces (Prentice-Hall 1976; Dover Publications 2016), deutsche Übersetzung: Differentialgeometrie von Kurven und Flächen (Springer 1983)
do Carmo: Riemannian geometry (Birkhäuser 1992)
Eschenburg, Jost: Differentialgeometrie und Minimalflächen (Springer 2014)
Jost: Riemannian geometry and geometric analysis (Springer 2017)
Kühnel: Differentialgeometrie (Springer 2013)
Lee: Introduction to smooth manifolds (Springer 2013)
  Aufbauend auf diese Vorlesung können Examensthemen vergeben werden.
3 Veranstaltungen aus dem Archiv des Vorlesungsverzeichnisses (Sommersemester 2022)
Nummer Name Gruppen Dozenten Zeit Raum
220000-635
[SS2022]
Differentialgeometrie
[Vorlesung]
wo: B_InMa6, M_MaFM2, M_MaIn2, M_MaMa2, M_MaTM2, M_MaWM2, B_MT__4, B_MT__6, D_MaIn6, D_MaMa6, D_MaTM6, D_MaWM6, D_MaFM6, D_MaFM8, D_MaIn8, D_MaMa8, D_MaTM8, D_MaWM8
 Prof. Philipp Reiter (222032) Montag (wö.)
13:45-15:15 		2/B202
220000-635A
[SS2022]
Differentialgeometrie
[Vorlesung]
wo: B_InMa6, M_MaFM2, M_MaIn2, M_MaMa2, M_MaTM2, M_MaWM2, B_MT__4, B_MT__6, D_MaIn6, D_MaMa6, D_MaTM6, D_MaWM6, D_MaFM6, D_MaFM8, D_MaIn8, D_MaMa8, D_MaTM8, D_MaWM8
 Prof. Philipp Reiter (222032) Mittwoch (wö.)
11:30-13:00 		2/N005
220000-636
[SS2022]
Differentialgeometrie
[Übung]
wo: B_InMa6, M_MaFM2, M_MaIn2, M_MaMa2, M_MaTM2, M_MaWM2, B_MT__4, B_MT__6, D_MaIn6, D_MaMa6, D_MaTM6, D_MaWM6, D_MaFM6, D_MaFM8, D_MaIn8, D_MaMa8, D_MaTM8, D_MaWM8
 Prof. Philipp Reiter (222032) Dienstag (wö.)
07:30-09:00 		2/B202

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