Geometrische Analysis / Geometric Analysis (4V/2Ü)

Vorlesung mit Übungen / Lecture with exercise class, Sommer 2023

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Wie kann man Knoten effizient entwirren? Trotz moderner Funktechnologie kämpfen wir im Alltag zuweilen immer noch mit Kabelsalat. Die Topologie von Kurven spielt darüberhinaus eine Rolle in Anwendungen, u. a. in der Molekularbiologie. In dieser Vorlesung werden wir die mathematischen Grundlagen kennenlernen, auf denen die nebenstehend gezeigte Simulation beruht.

Zunächst werden wir uns allgemein mit (nichtlinearen) Einbettungen befassen: Funktionen, die einen Homöomorphismus auf ihr eigenes Bild liefern. Dies sind z. B. Kurven und Flächen ohne Selbstschnitte. Hieraus ergibt sich in natürlicher Weise eine Äquivalenzrelation, der Isotopiebegriff.

Im Zentrum der Vorlesung stehen repulsive Funktionale, also Abbildungen von einem Funktionenraum in die reellen Zahlen, die die "Qualität" einer solchen Einbettung "messen". Sie hängen sowohl von Regularität als auch vom Grad der Einbettung des entsprechenden Objekts ab.

Ein Beispiel stellt die Punkt-Tangenten-Energie dar, \[ \mathrm{TP}_{\!q}[\gamma] = \iint\limits_{\mathbb{R}/\mathbb{Z}\times\mathbb{R}/\mathbb{Z}} \frac{\left|\left(\gamma(x)-\gamma(y)\right)\wedge\frac{\gamma'(x)}{|\gamma'(x)|}\right|^{2q}}{\left|\gamma(x)-\gamma(y)\right|^q} |\gamma'(x)||\gamma'(y)|\;\mathrm{d}x\;\mathrm{d}y, \] die für \(q>2\) auf differenzierbaren eingebetteten geschlossenen Kurven \(\gamma:\mathbb{R}/\mathbb{Z}\to\mathbb{R}^3\) definiert ist, wobei \(\mathbb{R}/\mathbb{Z}\) das Einheitsintervall \([0,1]\) mit identifizierten Endpunkten \(0\) and \(1\) bezeichnet.

Das Konzept funktioniert analog auch für Flächen. Die nebenstehende Simulation illustriert, dass für Flächen ein Isotopiekonzept gilt, das sich vom Kurvenfall in überraschender Weise unterscheidet.