Dynamische Systeme / Dynamical systems (4V/2Ü)

Vorlesung mit Übungen / Lecture with exercise class, Sommer 2024

Upon request, this course will be held in English. Please send an email ahead of the first meeting if you are interested in this option.

Wie breiten sich Infektionskrankheiten aus? Wer gewinnt beim Räuber-Beute-Wettbewerb? Kann man das $N$-Körper-Problem lösen? Was haben Wettervorhersagen mit Chaos zu tun?

Viele Phänomene in Naturwissenschaften und Technik lassen sich durch Differentialgleichungen beschreiben. Im einfachsten Fall sind dies gewöhnliche Differentialgleichungen, die eine von nur einer reellen Veränderlichen abhängige Lösung besitzen. Häufig betrachtet man Anfangswertprobleme, die einen Startwert der Lösung an einer festgelegten Stelle vorschreiben. In diesem Kontext stellt sich die Frage, welche Auswirkungen kleine Störungen dieses Startwerts auf den Verlauf der Lösung haben. Dies führt auf verschiedene Stabilitätskonzepte.

Diese Vorlesung ist in gewisser Weise eine Fortsetzung der Theorie gewöhnlicher Differentialgleichungen. Konkret werden wir uns mit autonomen Systemen beschäftigen, die durch stetig differenzierbare Vektorfelder $\mathrm{\Phi }:U\to {\mathbb{R}}^n$ für offene Mengen $U\subset {\mathbb{R}}^n$ gegeben sind. Gegenstand der Untersuchung sind auf (maximalen) Intervallen $I$ definierte Lösungen $X:I\to {\mathbb{R}}^n$ des Gleichungssystems $$\dot{X}(t)=\mathrm{\Phi }(X(t)).$$ Weniger als die konkrete Gestalt von Lösungskurven sind deren qualitative Eigenschaften von Interesse. Dies betrifft etwa die Frage, ob die Lösungskurven unbeschränkt oder periodisch sind und ob bzw. gegen welche Objekte sie für $t\to \pm \mathrm{\infty }$ konvergieren.

Während sich das Verhalten dynamischer Systeme in zwei Dimensionen noch relativ übersichtlich ausnimmt, treten für $n\ge 3$ Situationen auf, in denen eine sehr starke Abhängigkeit von Anfangsdaten bzw. Parametern vorliegt, verbunden mit einem erheblichen Wachstum von Fehlern, die Aussagen über Langzeitverhalten erschwert oder unmöglich macht. In diesem Fall spricht man von chaotischem Verhalten.