Numerische Optimierung / Numerical Optimization (4V/2Ü)
Vorlesung mit Übungen / Lecture with exercise class, Winter 2024/25
Upon request, this course will be held in English. Please send an email if you are interested in this option.
Welche Route sollte ein Handlungsreisender wählen, der mehrere Standorte auf möglichst kurzen Wegen erreichen möchte? Wie gestaltet man eine Investmentstrategie, die den erwarteten Gewinn maximiert und gleichzeitig das Risiko beschränkt? Was ist die optimale Gestalt eines Bauteils in der Fahrzeugproduktion? Für die Beantwortung dieser und ähnlicher Fragen werden Methoden der numerischen Optimierung verwendet.
Im Zentrum dieser Vorlesung stehen Optimierungsprobleme und die Frage nach Möglichkeiten, diese numerisch effizient zu lösen. Zunächst befassen wir uns mit freien (unrestringierten) Problemen, bei denen Minimierer einer auf einem Banachraum \(X\) definierten hinreichend glatten Funktion \(F:X\to\mathbb R\) gesucht werden. Numerische Verfahren bauen hier in erster Linie auf Gradientenabstiegen auf; Varianten des Newton-Verfahrens beziehen auch die zweiten Ableitungen bzw. deren Approximation ein.
Im Fall von restringierten Problemen treten Nebenbedingungen auf, die in der Regel durch mehrere Gleichungen und Ungleichungen formuliert werden. Konkret ergibt sich für (hinreichend glatte) Funktionen \(\Phi:X\to\mathbb R^m\) und \(\Psi:X\to\mathbb R^n\) \[ \begin{array}{rll}F \to \min! \qquad\text{unter den Nebenbedingungen}&\Phi_i(x)=0,&i=1,\dots,m,\\ \text{und} &\Psi_j(x)\le0,&j=1,\dots,n,\\ \mathrm{f\ddot{u}r}&x\in X. \end{array} \] Besonders interessieren wir uns für den Fall, dass \(F\), \(\Phi\) und \(\Psi\) nichtlinear und nichtkonvex sind.
Die Diskussion von Güte und Grenzen numerischer Verfahren nimmt eine zentrale Rolle in dieser Vorlesung ein.
Inhaltsübersicht
- Einleitung
- Grundlagen: Normierte Räume; Optimalitätskriterien; Konvexe Mengen und Funktionen
- Unrestringierte Optimierung: Methode des steilsten Abstiegs; CG-Verfahren; Newton-Verfahren; Schrittweitensteuerung; Gauß-Newton-Verfahren
- Restringierte Optimierung: Optimalitätsbedingungen; Regularitätsbedingungen; Newton-Verfahren bei Gleichungs- und Ungleichungsnebenbedingungen; Penalty- und Barriereverfahren
| Dozenten | Philipp Reiter, Raum C46.719, +49 371 531…, philipp.reiter@… Rhoslyn Coles, Raum C46.717, +49 371 531…, rhoslyn.coles@… Sprechstunde nach Vereinbarung |
|---|---|
| Termine | Vorlesung und Übung beginnen in der ersten Vorlesungswoche. Bitte melden Sie sich in Opal an. |
| Voraussetzungen | Grundvorlesungen in Analysis und Linearer Algebra sowie Numerische Mathematik. Weitere Vorkenntnisse, insbesondere Grundlagen der Optimierung und Funktionalanalysis, sind hilfreich, aber nicht zwingend erforderlich. |
| Zielgruppe | Die Vorlesung richtet sich in erster Linie an Studierende der mathematischen Bachelor-/Masterstudiengänge; andere Interessenten sind nach Absprache ebenfalls willkommen. |
| Übungen | Wöchentlich werden Übungsaufgaben gestellt und besprochen. Die Aufgaben werden teils theoretischer und teils praktischer Natur (d. h. Programmieraufgaben) sein. Empfohlene Programmiersprachen sind Matlab oder Python. Programmiervorkenntnisse sind hilfreich, aber keinesfalls notwendig. Die Übungen beginnen in der ersten Vorlesungswoche. |
| Modulprüfung | Mündliche Prüfung (Details werden in der Vorlesung bekanntgegeben) |
| Literatur |
Nocedal & Wright: Numerical optimization (Springer 2006) Weitere Quellen werden in der Vorlesung genannt. |
| Aufbauend auf diese Vorlesung können Examensthemen vergeben werden. |
